Несложная задача с параметром

Задача. Найдите все положительные значения параметра $p$, при каждом из которых система

$$\begin{Bmatrix}{-7y+2x+4=0}\\{y-2<0}\\{y^2+x^2-p^2=0}\\{0-y\leqslant0}\end{matrix}$$

относительно величин $x$ и $y$ имеет ровно одно решение.

Упростим:

$$\begin{Bmatrix}{y=\frac{2x+4}{7}}\\{y<2}\\{y^2+x^2=p^2}\\{y\geqslant0}\end{matrix}$$

Первое уравнение – уравнение прямой, оба коэффициента которой известны, следовательно, прямая «стационарна». Второе и четвертое неравенства задают две горизонтальные прямые и ограничивают область, в которой должно находиться решение, сверху и снизу, причем точки прямой $y=2$ в эту область не входят, что показано штриховкой. Третье уравнение задает окружность с центром в начале координат и переменным радиусом. Вот его-то величину нам и надо подобрать так, чтобы прямая и окружность пересекались лишь раз (или касались бы друг друга) и при этом в заданной области – в полосе от 0 до 2 по оси у.

Рассмотрим сначала касание.

Касание

Подобные треугольники

Треугольники $EFC$ и $EDC$ подобны.  Найдем искомый радиус $DC$ из соотношения сходственных сторон:

$$\frac{DC}{FC}=\frac{EC}{EF}$$

$$DC=\frac{EC\cdot FC}{EF}$$

$FC=\frac{4}{7}$, это следует из уравнения прямой. При подстановке в это же уравнение нуля вместо координаты $y$ найдем $EC$:

$$ 0=\frac{2 EC+4}{7}$$

$$EC=-2$$

Надо заметить, что далее нас будет интересовать модуль $EC$, то есть просто длина отрезка, а не координата.

$EF$ можно найти по теореме Пифагора:

$$EF^2=EC^2+FC^2=4+\frac{16}{49}$$

$$EF=\sqrt{\frac{4\cdot49+16}{49}}=\sqrt{\frac{212}{49}}=\frac{2\sqrt{53}}{7}$$

Теперь можно найти радиус окружности в случае касания окружности и прямой:

$$ DC=\frac{EC\cdot FC}{EF}=\frac{2\cdot \frac{4}{7}}{\frac{2\sqrt{53}}{7}}=\frac{4}{\sqrt{53}}$$

После касания, если радиус будет расти, то произойдет пересечение окружности и прямой. Прямая из касательной станет секущей, и нам надо уловит момент, когда только одна из точек, образующих хорду сечения, останется в голубой области. Очевидно, это произойдет, когда радиус окружности станет больше, чем $EC$.

Одна из точек покидает голубую зону

И такое пересечение будет существовать в голубой области, пока радиус не станет больше отрезка $AC$. Длину $AC$ найдем из условия пересечения прямой $ y=\frac{2x+4}{7}$ с прямой $y=2$:

$$2=\frac{2x+4}{7}$$

$$2x+4=14$$

$$x=5$$

Тогда

$$AC^2=CP^2+AP^2=5^2+2^2=29$$

$$AC=\sqrt{29}$$

Вторая точка покинет голубую зону, когда радиус станет раdным AC

Наконец, формулируем ответ: нас устраивает значение параметра (длина радиуса окружности), при котором происходит касание – это $p=\frac{4}{\sqrt{53}}$, а также все длины радиусов от 2 до $\sqrt{29}$.

Ответ: $p \in {\frac{4}{\sqrt{53}}} \cup (2; \sqrt{29})$.