Неравенство с параметром: применение различных приемов.

При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при  доведении до получения ответа.

Задача. Решите неравенство:

$$\log_a (x+4)\cdot \left((a+1)^{x+2}-a-1\right)( \mid x -4 \mid -2) \geqslant 0$$

В этом неравенстве имеется разность $\mid x -4 \mid -2$, и здесь может быть применен прием домножения на сопряженное.  К логарифму и степенной функции применим метод рационализации, только перед этим сделаем вот такое преобразование:

$$\log_a (x+4)= \log_a (x+4)-\log_a 1$$

То есть мы просто вычли 0 из логарифма, поскольку множитель  в виде логарифма неудобен для применения рационализации.

Тогда:

$$(\log_a (x+4) -\log_a 1)\cdot \left((a+1)^{x+2}-(a+1)\right)(x -4 -2)(x-4+2 )\geqslant 0$$

$$\frac{x+4-1}{a- 1} (a+1-1)(x+2-1)(x -6)(x-2 )\geqslant 0$$

$$\frac{x+3}{a- 1} \cdot a(x+1)(x -6)(x-2 )\geqslant 0$$

Кроме того, учтем, что $a>0$, $a \neq 1$ - это уже учли, поставив $a-1$ в знаменатель, $x>-4$.

Изобразим на плоскости $OXA$ соответствующие линии, и доведем решение до конца графически.

На рисунке показаны синим линии $x=-3$, $x=-1$, $x=2$, $x=6$; красным показана линия, отграничивающая $x>-4$, рыжим - $a>0$, $a \neq 1$.

Рисунок 1. Построение границ

Возьмем на нашей плоскости какую-то точку, например, $A(1;2)$ и подставим ее координаты в неравенство. Получаем, что $x+3>0$, $a-1>0$, $a>0$, $x+1>0$, $x-2<0$ и $x-6<0$ - и неравенство выполняется:

Рисунок 2. Выбор произвольной точки и определение, выполняется ли для нее неравенство.

При переходе в любую соседнюю область: вправо, влево или вниз – одна из скобочек поменяет свой знак и поменяет знак все выражение, поэтому выполняться неравенство будет «через область», то есть в областях, расположенных в шахматном порядке от первой:

Рисунок 3. Определение всех областей выполнения неравенства.

Теперь можно записать ответ:  при $a \in (0; 1) x \in [-3;-1] \cup [2;6]$, при

$a \in (1; +\infty) x \in (-4;-3] \cup [-1;2] \cup [6; +\infty)$