Неравенство с параметром и логарифмами

Если $\frac{a^2}{4}=1$, то $a^2=4$, $a=\pm 2$.

При $a=2$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-6x+12> 0}\\{ x^2-6x+12\leqslant 1} \end{matrix}$$

Решений нет.

При $a=-2$

$$\begin{Bmatrix}{x^2+6x+8> 0}\\{ x^2+6x+8\leqslant 1} \end{matrix}$$

Решения есть.

Если $\frac{a^2}{4}>1$, то $a^2>4$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1 \geqslant 1}\\{x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1 \leqslant \frac{a^2}{4}} \end{matrix}$$

Первое имеет решения, второе не имеет решений при $D<0$:

$$x^2-3ax+2a^2+a+1 \leqslant 0$$

$$ D=9a^2-8a^2-4a-4$$

$$\begin{Bmatrix}{ a^2-4a-4<0 }\\{a^2>4} \end{matrix}$$

$$a\in (2; 2+2\sqrt{2})$$

Если $\frac{a^2}{4}<1$, то $a^2<4$ .

$$\begin{Bmatrix}{x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1) \leqslant 1}\\{x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1) \geqslant \frac{a^2}{4}} \end{matrix}$$

Второе неравенство системы имеет решения. Первое не имеет решения при $D<0$.

$$ D=9a^2-9a^2-4a<0$$

$$a>0$$

$$a\in (0; 2)$$

Ответ: $0<a<2+2\sqrt{2}$