Неравенство с параметром: два способа решения.

Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически.

Задача. При каких $a$ решением неравенства является отрезок длины 1?

$$\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid$$

Первый способ решения.

Модули меняют знаки при $a=2x$ и $x=-3$. Построим указанные прямые на параметрической плоскости $OXA$. Они нам разобьют плоскость на зоны (показаны цветом), где модули будут сняты с различными знаками. В зеленой зоне – оба плюса, в бежевой – оба минуса. В желтой – первый с «плюсом», второй – с «минусом»,  в голубой – наоборот.

Рисунок 1

Тогда снимаем с обоими «плюсами»:

$$2x-a +1 \leqslant x+3$$

$$a\geqslant x-2$$

С обоими «минусами»

$$-2x+a +1 \leqslant -x-3$$

$$a\leqslant x-4$$

Первый  - с «плюсом», второй – с «минусом».

$$2x-a+1\leqslant -x-3$$

$$a \geqslant 3x+4$$

Первый  - с «минусом», второй – с «плюсом».

$$-2x+a+1\leqslant x+3$$

$$a \leqslant 3x+2$$

Построим данные прямые:

Длина горизонтального отрезка, заключенного между прямыми, должна быть равна 1.

Таким образом,

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{\mid \frac{a-4}{3}-(a+4)\mid=1}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{\mid a+2-\frac{a-2}{3}\mid = 1}\end{matrix}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{ a-4-3a-12=\pm 3}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{3a+6-a+2 = \pm 3}\end{matrix}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \leqslant-8}\\{ -2a=\pm 3-16}\end{matrix}\\{\begin{Bmatrix}{ a\geqslant -4}\\{2a= \pm 3-8}\end{matrix}\end{matrix}$$

Значит, $a=-9,5$ и $a=-2,5$.

Ответ: $a=-9,5$ и $a=-2,5$.

Второй способ решения.

$$\mid x+3 \mid \geqslant \mid 2x-a \mid +1$$

Или

$$\begin{bmatrix}{ x+3 \geqslant \mid 2x-a \mid +1~~~~~~~~~(1)}\\{ x+3 \leqslant -\mid 2x-a \mid -1~~~~~~~~~~~(2)}\end{matrix}$$

Решаем (1)

$$\mid 2x-a \mid \leqslant x+2$$

$$ -x-2 \leqslant 2x-a \leqslant x+2$$

$$\begin{bmatrix}{ x \leqslant a+2}\\{ x \geqslant \frac{a-2}{3}}\end{matrix}$$

$$a+2-\frac{a-2}{3}=1$$

$$a=-2,5$$

Решаем (2)

$$\mid 2x-a \mid \leqslant -x-4$$

$$ x+4\leqslant 2x-a \leqslant -x-4$$

$$\begin{bmatrix}{ x \geqslant a+4}\\{ x \leqslant \frac{a-4}{3}}\end{matrix}$$

$$\frac{a-4}{3}-(a+4)=1$$

$$a=-9,5$$

Ответ: $a=-9,5$ и $a=-2,5$.