Неравенства с параметрами, множество решений которых - отрезок

В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе - графически.

Задача 1.

Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства

$$\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0$$

относительно $x$ является отрезок длины 2.

Решим аналитически: найдем точку, в которой меняет знак второе подмодульное выражение:

$$ x-\frac{1}{2}=0$$

$$ x=\frac{1}{2}$$

Тогда при $x>\frac{1}{2}$ имеем:

$$\mid 4x+\varepsilon \mid -x+\frac{1}{2}+1 \leqslant 0$$

$$\mid 4x+\varepsilon \mid \leqslant x-1,5$$

Между двумя решениями этого неравенства должно быть расстояние длиной 2. Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

$$4x+\varepsilon  \leqslant x-1,5$$

$$3x \leqslant -1,5-\varepsilon$$

$$x \leqslant -0,5-\frac{\varepsilon}{3}$$

С отрицательным знаком:

$$-4x-\varepsilon  \leqslant x-1,5$$

$$-5x \leqslant \varepsilon -1,5$$

$$x \geqslant -\frac{\varepsilon}{5} +0,3$$

Крайние точки:

$$x_2 = -0,5-\frac{\varepsilon}{3}$$

$$x_1 = -\frac{\varepsilon}{5} +0,3$$

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

$$x_2-x_1=2$$

$$-\frac{\varepsilon}{3} -0,5-0,3+\frac{\varepsilon}{5}=2$$

$$-\frac{2\varepsilon}{15} =2,8$$

$$\varepsilon=-21$$

Теперь вернемся к началу и при $x<\frac{1}{2}$ имеем:

$$\mid 4x+\varepsilon \mid+x-\frac{1}{2}+1 \leqslant 0$$

$$\mid 4x+\varepsilon \mid \leqslant -x-0,5$$

Раскроем модуль и найдем решения неравенства: с положительным знаком

$$4x+\varepsilon  \leqslant -x-0,5$$

$$5x \leqslant -\varepsilon -0,5$$

$$x \leqslant -\frac{\varepsilon}{5} -0,1$$

С отрицательным знаком:

$$-4x-\varepsilon  \leqslant -x-0,5$$

$$-3x \leqslant \varepsilon -0,5$$

$$x \geqslant -\frac{\varepsilon}{3} +\frac{0,5}{3}$$

Крайние точки:

$$x_2 = -\frac{\varepsilon}{5} -0,1$$

$$x_1 = -\frac{\varepsilon}{3} +\frac{0,5}{3}$$

Между полученными точками должен быть отрезок длиной 2:

$$x_2-x_1=2$$

$$-\frac{\varepsilon}{5} -0,1+\frac{\varepsilon}{3}-\frac{0,5}{3}=2$$

$$\frac{\varepsilon}{3}-\frac{\varepsilon}{5} =2,1+\frac{0,5}{3}$$

$$\varepsilon-0,6 \varepsilon=6+0,3+\frac{1}{2}$$

$$\varepsilon=17$$

Ответ: $\varepsilon=-21$ и $\varepsilon=17$.

Задача 2.

Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства

$$\sqrt{-x}+ \mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid-4 < 0$$

относительно $x$ является некоторый интервал или полуинтервал.

Преобразуем неравенство:

$$\mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid < 4-\sqrt{-x}$$

Решим графически: слева – «галочка», меняющая свое положение относительно оси $x$ (скользит по оси $x$ вправо-влево), справа – перевернутый график $\sqrt{x}$: во-первых, существует только на отрицательной полуплоскости, во-вторых, минус перед корнем переворачивает этот график «вверх ногами», кроме того, он смещен вверх по оси $y$ на 4 единицы вверх:

Нас интересует такое положение «галочки», когда часть ее находится под графиком  $4-\sqrt{-x}$. Очевидно, что, когда «галка» слева, она вся находится над графиком  $4-\sqrt{-x}$. Потом, при движении «галки» вправо, наступает момент, когда график $\mid\frac{3x}{16}+\varepsilon\mid $ (правое крыло «галки») пройдет через точку $(0,4)$. Это ключевой момент, именно начиная с данного значения параметра (мы его сейчас определим расчетом) часть «галки» окажется под графиком корня.

Вычислим значение параметра: правая часть «галки» описывается уравнением: $y=\frac{3x}{16}+\varepsilon$, подставим координаты точки $(0,4)$:

$$4=\frac{3\cdot 0}{16}+\varepsilon$$

$$\varepsilon=4$$

Двигаем «галку» правее, и видим, что все время пусть маленький, но кусочек ее остается под графиком корня.

Так будет происходить до тех пор, пока левое крыло не пройдет через точку $(0,4)$.

Найдем значение параметра для этого случая: левая часть «галки» описывается уравнением: $y=-\frac{3x}{16}-\varepsilon$, подставим координаты точки $(0,4)$:

$$4=-\frac{3\cdot 0}{16}-\varepsilon$$

$$\varepsilon=-4$$

Итак, получили значения параметра от $-4$ до $4$. Сами эти точки в ответ не войдут!

Ответ: $\varepsilon \in (-4;4)$.