Количество решений в задаче с параметром

В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.

При каком значении параметра $a$ уравнение

$$\sin^2 x + (a-2)^2 \sin x + a(a-2)(a-3)=0$$

на отрезке $[0; 2\pi]$ имеет три решения?

Введем замену $t=\sin x$, $t \in [-1;1]$.

Глядя на тригонометрический круг, понимаем, что при $t=0$ имеем три решения ($0, \pi, 2\pi$) – красные точки на рисунке. В точках $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ получим одно решение (синие точки), а во всех квадрантах – по 2.

Рисунок 1

Уравнение после замены:

$$t^2 + (a-2)^2t + a(a-2)(a-3)=0$$

Рассматриваем случай $t=0$:

$$ a(a-2)(a-3)=0$$

$$a=0; a=2; a=3$$

Теперь полученные значения параметра надо обязательно проверить.

При $a=0$:

$$t^2+4t=0$$

$$t=0; t=-4$$

Подходит один корень, $t=0$, при этом получаем желаемые три корня исходного уравнения, и значение параметра, следовательно, тоже подходит.

При $a=2$:

$$t^2=0$$

$$t=0$$

И это значение параметра годится, так как получили один корень и три решения исходного уравнения.

При $a=3$:

$$t^2+t=0$$

$$t=0; t=-1$$

Это значение параметра не годится, так как получили одно решение, соответствующее $t=-1$,  и три решения исходного уравнения при $t=0$.

Рассмотрим еще два случая, которые нас могут устроить: а) и б) если одно решение $t=-1$, а еще один корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 2

Или наоборот, в) и г) одно решение $t=1$, а второй  корень попадет в любой из промежутков и ему будут соответствовать два решения:

Рисунок 3

Рассмотрим все их подробно.

а) Для того, чтобы один корень был $t=-1$, а второй попал бы в промежуток $(0;1)$, достаточно выполнения условий:

$$\begin{Bmatrix}{f(-1)=0}\\{f(0)<0}\\{f(1)>0}\end{matrix}$$

Тогда получим систему:

$$\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)<0}\\{a^3-4a^2+2a+5>0}\end{matrix}$$

Вычитая из неравенства уравнение, получим:

$$2a^2-8a+8>0$$

$$a^2-4a+4>0$$

Это неравенство верно всегда, кроме $a=2$.

Решение второго неравенства $a \in (-\infty; 0) \cup (2;3)$.

Теперь найдем решение уравнения. Делителями свободного члена являются числа $1;-1;3;-3$. По схеме Горнера попробуем разделить уравнение по очереди на $a-1; a+1; a-3; a+3$. Деление на $a-3$ приносит результат:

$$ a^3-6a^2+10a-3=(a-3)(a^2-3a+1)$$

Корнями будут являться $a=3$, $a=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Из этого набора $a=3$ не подходит, мы это проверяли ранее, $a=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$  - не попадает в решения неравенства. А корень $a=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ - подходит.

б) Теперь второй случай рисунка 2. Здесь потребуем, чтобы вершина параболы оказалось между точками (-1) и 0:

$$\begin{Bmatrix}{f(-1)=0}\\{f(0)>0}\\{-1<-\frac{b}{2a}<0}\end{matrix}$$

Тогда получим систему:

$$\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)>0}\\{-1<-\frac{(a-2)^2}{2}<0}\end{matrix}$$

Решения уравнения уже найдены, решения неравенства $a \in (0;2) \cup (3; +\infty)$.

В последнее неравенство системы подставим уже найденные ранее корни и понимаем, что они не подходят.

Случай в):

$$\begin{Bmatrix}{f(1)=0}\\{f(0)<0}\\{f(-1)>0}\end{matrix}$$

Тогда получим систему:

$$\begin{Bmatrix}{a^3-6a^2+10a-3=0}\\{ a(a-2)(a-3)<0}\\{a^3-6a^2+10a-3>0}\end{matrix}$$

Аналогично, сложим неравенство с уравнением и получим:

$$-2a^2+8a-8>0$$

$$a^2-4a+4<0$$

Полный квадрат не может быть отрицателен, следовательно, здесь нет решений.

Случай г):

$$\begin{Bmatrix}{f(1)=0}\\{f(0)>0}\\{0<-\frac{b}{2a}<1}\end{matrix}$$

Тогда получим систему:

$$\begin{Bmatrix}{a^3-4a^2+2a+5=0}\\{ a(a-2)(a-3)>0}\\{0<-\frac{(a-2)^2}{2}<1}\end{matrix}$$

Замечаем, что условие на вершину параболы не выполняется: полный квадрат, перед которым знак минус. Так что здесь тоже нет решений.

В итоге ответ: $a \in \{0\}; \{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}; \{2\}$.