Графическое решение неравенства с параметром и модулем

Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется на отрезке $x \in [-1;0]$:

$$\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2  \mid$$

Перепишем:

$$\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2  \mid\leqslant 0$$

Применим прием «борьбы» с разностью двух положительных выражений: домножим на сопряженное выражение. Тогда неравенство будет записано:

$$(x+a^2 - a-x^2)( x+a^2 +a+x^2)\leqslant 0$$

$$(x- a-(x^2- a^2))( x+a^2 +a+x^2)\leqslant 0$$

Общий множитель в первой скобке выносим, а во второй – увидим и выделим полные квадраты:

$$(x- a)(1-x- a)( a^2 +a+\frac{1}{4}+x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{2}{4})\leqslant 0$$

$$(x- a)(1-x- a) \left( \left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)\leqslant 0$$

Если теперь ввести систему координат $OXA$, то в ней можно построить три объекта:

$$\begin{Bmatrix}{a= x}\\{ a=1-x}\\{\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\end{matrix}$$

То есть две пересекающиеся прямые и окружность. Строим:

Рисунок 1. Построение линий

Теперь возьмем произвольную точку, например, с координатами $B(\frac{1}{2}; 1)$  и подставим ее координаты в неравенство. Видим, что все множители положительны и неравенство не выполняется. Оно не будет выполняться во всей области, но как только мы пересечем какую-либо  ее границу, то попадем в область, где неравенство выполняется. Поэтому закрасим такие области в шахматном порядке:

Рисунок 2. Обозначение областей, где неравенство выполняется.

Теперь коричневыми вертикалями отграничим область $x \in [-1;0]$, и посмотрим, при каких $a$ неравенство выполняется.

Рисунок 3. Ярким зеленым цветом и желтой полоской обозначаем решение неравенства на заданном отрезке

Очевидно, что это $a=-1$ и промежуток от «верхушки» окружности до $a=1$. А координату «верхушки» окружности найдем как разность радиуса и координаты центра:

$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in \{-1\} \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2};1]$.