Два уравнения с параметрами

При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе - использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.

Задача 1.

При каком значении параметра $a$ решение уравнения

$$4\sqrt[3]{3,5x-2,5}+3\log_2 (3x-1)+2a=0$$

принадлежит отрезку $[1;3]$?

Решение: рассмотрим функцию $4\sqrt[3]{3,5x-2,5}$. Она является возрастающей. Также, как и функция $3\log_2 (3x-1)$. А сумма двух возрастающих функций, как известно, тоже функция возрастающая. Следовательно, если такая функция пересекает ось $x$, то единожды. Тогда осталось потребовать, чтобы значение функции в точке 1 было бы неположительно, а в точке 3 – неотрицательно: $f(1)\leqslant 0$, $f(3)\geqslant 0$.

Свойства функции

Подставим:

$$4\sqrt[3]{3,5\cdot1-2,5}+3\log_2 (3\cdot 1-1)+2a=4\sqrt[3]{1}+3\log_2 2+2a\leqslant 0$$

$$7+2a\leqslant 0$$

$$a\leqslant -\frac{7}{2}$$

$$4\sqrt[3]{3,5\cdot3-2,5}+3\log_2 (3\cdot 3-1)+2a=4\sqrt[3]{8}+3\log_2 8+2a\geqslant 0$$

$$8+9+2a\geqslant 0$$

$$a\geqslant -\frac{17}{2}$$

Ответ: $a \in [-\frac{17}{2};-\frac{7}{2}]$.

Задача 2.

При каких значениях параметра $m$ уравнение

$$(m+1)x^2-2mx+2m-2=0$$

имеет два различных корня одного знака?

Уравнение квадратное (конечно, при условии $m\neq -1$). Чтобы квадратное уравнение в принципе имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был положителен $D>0$. Как потребовать, чтобы оба корня были одного знака? Это очевидно: пусть их произведение будет положительным!

$$\begin{Bmatrix}{4m^2-4(m+1)(2m-2)>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{m^2-2m^2+2m-2m+2>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{-m^2+2>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(\sqrt{2}-m)(\sqrt{2}+m)>0}\\{\frac{m-1}{m+1}>0}\end{matrix}$$

Решение первого неравенства системы: $m \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Решение второго неравенства: $m \in (-\infty; -1) \cup (1;+\infty)$.

Накладывая решение одного неравенства на решение другого, получим: $m \in (-\sqrt{2};-1) \cup (1;+ \sqrt{2})$.

Не забудем про $m= -1$. При таком значении параметра уравнение перестает быть квадратным: $2x-4=0$, $x=2$ - единственный корень. Поэтому ответ:$m \in (-\sqrt{2};-1) \cup (1;+ \sqrt{2})$.