Два способа решения одной задачи с параметром

В этой статье предложены два способа решения одной и той же задачи с параметром, оба графические, но все же отличные. Выбирайте, который вам ближе.

При каком значении параметра $a$ уравнение

$$\mid x^2-2x-3 \mid -2a =\mid x-a \mid-1 $$

имеет три решения?

Первый способ решения. Выясняем точки изломов графиков, потом снимаем модули и смотрим, что выйдет.

Линии излома графика получим, приравняв к нулю подмодульные выражения:

$$x^2-2x-3=0$$

$$x=3, x=-1$$

$$x=a$$

Эти три прямые разбили плоскость на 6 областей. Покажем, какие знаки принимают подмодульные выражения в каждой из них. Синим цветом показаны знаки первого модуля, красным – второго. Сначала - парабола:

Рисунок 1.1

Теперь - прямая:

Рисунок 1.2

Наконец, накладываем друг на друга:

Рисунок 1.3

а) Области, в которых оба «плюса»:

$$x^2-2x-3-2a =x-a -1 $$

$$x^2-3x-2=a$$

б) Области, в которых оба «минуса»:

$$-x^2+3x+4 = 3a $$

$$a=\frac{-x^2+3x+4 }{3}$$

в) Области, в которых первый «плюс», а второй  «минус»:

$$x^2-2x-3-2a = a-x-1 $$

$$x^2-x-2= 3a$$

$$a=\frac{x^2-x-2 }{3}$$

г) Области, в которых первый «минус», а второй  «плюс»:

$$-x^2+2x+3-2a = x - a -1 $$

$$a=-x^2+x+4$$

Получили кусочки парабол, выясним, где находятся вершины.

а) $(\frac{3}{2}; -\frac{17}{4})$

б) $(\frac{3}{2}; \frac{25}{12})$

в) $(\frac{1}{2}; -\frac{3}{4})$

г) $(\frac{1}{2}; \frac{17}{4})$

Построим соответствующие параболы в их областях.

Рисунок 2. Все параболы на одной плоскости

Рисунок 3. Кусочки парабол существуют каждый в своей области

Теперь проводим горизонтальные прямые, ища три пересечения. Видим, что при $a=0$ будем иметь три пересечения горизонтальной прямой с системой из кусочков парабол, и при $a=\frac{25}{12}$ тоже получаем три общих точки: два пересечения и касание.

Рисунок 4. Определение значений параметра

Ответ: $a=0$ и $a=\frac{25}{12}$.

Второй способ решения. Переносим все с параметром вправо, а все, что без – влево.

$$\mid x^2-2x-3 \mid +1 =\mid x-a \mid+2a $$

Построим то, что слева: $y=\mid x^2-2x-3 \mid +1$

Рисунок 5. График функции, не содержащей параметр

Справа имеем график $y=\mid x \mid$, но он подвижный. Вершина смещена на $a$ единиц по оси $x$, и на $2a$ по оси $y$. Координаты вершинки «галочки» $x_0=a$, $y_0=2a$. Тогда «галочка» смещается по прямой $y=2x$.

Рисунок 6. "Галочка" коснулась параболы

На рисунке показано положение «галочки», при котором пересечений ее с параболой три. Левое крыло «галочки» описывается формулой $y=-x+3a$, и проходит через точку $(-1;1)$. Тогда, подставляя координаты в формулу, находим $a=0$.

Второй случай трех пересечений – касание прямой и параболы. Прямая $y=-x+3a$ касается параболы $y=-x^2+2x+4$, которая существует на интервале $[-1;3]$.

Рисунок 7. Второе касание

Раз есть касание, то точка общая:

$$-x+3a=-x^2+2x+4$$

$$x^2-3x-4+3a=0$$

Одна общая точка - следовательно, дискриминант равен нулю:

$$D=9-4(3a-4)=0$$

$$9-12a+16=0$$

$$12a=25$$

$$a=\frac{25}{12}$$

Ответ: $a=0$ и $a=\frac{25}{12}$.