Два симпатичных параметра

Попалась несложная задачка с параметром, представляю ее вам!

Задача 1.

При каком значении параметра $a$ уравнение

$$2(2a+1)\sin x+(4a+1)\sin 2x+2\sin x \cos 2x=0$$

имеет ровно три различных решения, принадлежащих отрезку $[0; \pi]$?

Решение. Вытащим $\sin x$ за скобку:

$$\sin x(2(2a+1) +(4a+1)\cdot 2\cos x+2\cos 2x)=0$$

Тогда

$$\sin x=0$$

$$x=\pi n$$

Даст на на указанном отрезке уже два корня: ${0}$ и ${\pi}$. Значит, уравнение

$$2(2a+1) +(4a+1)\cdot 2\cos x+2\cos 2x=0$$

Должно иметь только один корень. Преобразуем его:

$$4a+2+(8a+2) \cos x+2+4\cos^2 x-2=0$$

$$4\cos^2 x+(8a+2) \cos x+4a=0$$

Оно квадратное и имеет один корень, если $D=0$:

$$D=(8a+2)^2-4\cdot 4a\cdot 4=64a^2-32a+4=(8a-2)^2$$

$$(8a-2)^2=0$$

$$8a=2$$

$$a=0,25$$

Такое значение параметра даст корень, равный $x=\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $a=0,25$

И еще одна симпатичная:

Задача 2.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^4-2x^3-4x^2+10x-5-2ax+6a-a^2=0$$

имеет не более трех корней.

Решение. Сгруппируем:

$$x^2(x^2-4)-2x(x^2-4)+2x-5-2ax+6a-a^2=0$$

$$x^2(x^2-4)-2x(x^2-4)+2(x-2)-1-2ax+6a-a^2=0$$

$$x^2(x^2-4)-2x(x^2-4)+2(x-2)-1-2a(x-2)+2a-a^2=0$$

Вытаскиваем общее за скобку:

$$(x^2-2x)(x^2-4)+2(x-2)(1-a)-(1-a)^2=0$$

$$x(x-2)(x^2-4)+2(x-2)(1-a)-(1-a)^2=0$$

$$x(x-2)^2(x+2)+2(x-2)(1-a)-(1-a)^2=0$$

Добавим и вычтем $(x-2)^2$:

$$x(x-2)^2(x+2)+(x-2)^2-(x-2)^2+2(x-2)(1-a)-(1-a)^2=0$$

И снова группировка:

$$(x-2)^2((x(x+2)+1)-((x-2)-(1-a))^2=0$$

$$(x-2)^2(x+1)^2-(x-3+a)^2=0$$

Имеем разность квадратов:

$$((x-2)(x+1)-(x-3+a))((x-2)(x+1)+(x-3+a))=0$$

$$(x^2-x-2-x+3-a)(x^2-x-2+x-3+a)=0$$

Откуда

$$a=5-x^2$$

И

$$a=(x-1)^2$$

Строим:

Рисунок к задаче 2

Из рисунка видно, что $a \in (-\infty; 0] \cup {1}\cup {4} \cup [5;+\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup {1}\cup {4} \cup [5;+\infty)$.