Неравенство и уравнение с параметром

В статье приведены решения неравенства с параметром и уравнения с параметром.

Задача 1.

При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства содержит $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right]$?

$$\frac{a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4}{\sin^2 x+a^2+1}<1$$

Решение.
Так как $\sin^2 x+a^2+1>0$, домножим на знаменатель.

$$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<\sin^2 x+a^2+1$$

$$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<1-\cos^2 x+a^2+1$$

$$\cos^2 x-(a^2-2a+0,5)\cos x-a^2+a+2<0$$

Получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Нас не устроит наличие у этого уравнения одного корня ($D=0$), и отсутствие у него корней ($D<0$). Нас устроит только случай, когда корней два. Поэтому $D>0$. Пусть

$\cos x=t$:

$$t^2 -(a^2-2a+0,5)t-a^2+a+2<0$$

Это парабола ветвями вверх.

$$t_1<\cos x<t_2$$

К задаче 1

Из рисунка понятно, что $t_1<0$, $t_2>1$.

$$f(t)= t^2 -(a^2-2a+0,5)t-a^2+a+2$$

Необходимо, чтобы

$$f(0)<0$$

$$f(1)<0$$

$$f(0)= -a^2+a+2$$

$$f(1)=1-a^2+2a-0,5-a^2+a+2$$

$$\begin{Bmatrix}{ -a^2+a+2<0}\\{ -2a^2+3a+2,5<0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a^2-a-2>0}\\{2a^2-3a-2,5>0}\end{matrix}$$

Решение первого неравенства системы: $-1<a<2$.

Решение второго неравенства системы: $a<\frac{3-\sqrt{29}}{4}$,$a>\frac{3+\sqrt{29}}{4}$.

Решение системы и задачи в целом: $a \in (-\infty; -1)\cup (\frac{3+\sqrt{29}}{4}; \infty)$.

Задача 2.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$2^{x^3-3x^2+4}+(a-10)\cdot \sqrt{2}^{ x^3-3x^2+4}+12-a=0$$

имеет шесть различных корней.

Пусть $t=\sqrt{2}^{ x^3-3x^2+4}; t>0$. Тогда $ x^3-3x^2+4=\log_2 t^2~~~~~(1)$.

Получим уравнение:

$$t^2+(a-10)t+12-a=0~~~~~~~~~~~(2)$$

Если уравнение (2) имеет два различных корня (положительных), а уравнение (1) – три различных корня, то исходное уравнение будет иметь 6 корней.

Для того, чтобы уравнение (2) имело 2 различных положительных корня, нужно, чтобы $D>0$, вершина параболы была бы в правой полуплоскости, и парабола пересекла бы вертикальную ось над осью $t$:

$$\begin{Bmatrix}{a^2-16a+52>0}\\{ \frac{10-a}{2}>0}\\{12-a>0}\end{matrix}$$

Откуда

$$\begin{Bmatrix}{a>8+2\sqrt{3}; a<8-2\sqrt{3}}\\{ a<10}\\{a<12}\end{matrix}$$

То есть $ a<8-2\sqrt{3}$.

Уравнение $x^3-3x^2+4=\log_2 t^2$ должно иметь три корня. Это кубическая парабола, и для того, чтобы было три корня, она должна иметь вид:

К задаче 2

Определим экстремумы функции  $f(x)= x^3-3x^2+4-\log_2 t^2$, для этого берем производную:

$$f’(x)=3x^2-6x=0$$

$$x=0$$

$$x=2$$

Как видно из рисунка, должно выполняться $f(0)>0$, $f(2)<0$. То есть:

$$\begin{Bmatrix}{4-\log_2 t^2>0}\\{ -\log_2 t^2<0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{t^2<16}\\{ t^2>1}\end{matrix}$$

То есть  $1<t<4$.

Для уравнения (2)

$$\begin{Bmatrix}{ a<8-2\sqrt{3}}\\{ f(1)>0}\\{f(4)>0}\\{1<\frac{10-a}{2}<4}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a<8-2\sqrt{3}}\\{ 1+a-10+12-a>0}\\{16+4(a-10)+12-a>0}\\{2<10-a<8}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a<8-2\sqrt{3}}\\{ 3>0}\\{-12+3a>0}\\{-8<-a<-2}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a<8-2\sqrt{3}}\\{a>4}\\{2<a<8}\end{matrix}$$

Откуда $a \in (4; 8-2\sqrt{3})$.

Ответ: $a \in (4; 8-2\sqrt{3})$.