Введение в параметры – 7

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 11.

В зависимости от параметра $a$ найдите количество решений уравнения

$$\mid\mid x+2 \mid -1 \mid = x +a.$$

Решение. Справа – ползающая вверх-вниз прямая, имеющая наклон $k=1$.

А что же справа? Строим поэтапно: прямую $x+2$, затем всю ту ее часть, которая находится под осью $x$, отражаем наверх: $\mid x+2 \mid$; затем получившуюся галку сдвигаем вниз на единицу: $\mid x+2 \mid -1$; и, наконец, «носик» галки – что под осью $x$ - отражаем вверх: $\mid\mid x+2 \mid -1 \mid$.

Построение графика в задаче 11

Теперь начинаем двигать прямую $a+x$.

Поиск числа решений в задаче 11

На рисунке показано несколько положений прямой. Видно, что при $a \in (-\infty; 1)$  - решений нет; при $a=1$ - бесконечное число решений;  при $a \in (1; 3)$ – одно решение; $a=3$ - бесконечное число решений; $a>3$ - 1 решение.

Задача 12.

Найдите значения $a$, при которых уравнение

$$10a + \sqrt{-48 +14x – x^2} = ax +1$$

имеет единственный корень.

Решение.

Справа – уравнение прямой, которая «пришпилена» к плоскости $XoY$ в точке $(0; 1)$ и меняет коэффициент наклона. А слева? Пусть

$$y=10a + \sqrt{-48 +14x – x^2}$$

$$y-10a=\sqrt{-49 +14x – x^2+1}$$

$$ y-10a=\sqrt{1-(49 -14x + x^2)}$$

$$ y-10a=\sqrt{1-(x-7)^2}$$

$$(y-10a)^2=1-(x-7)^2$$

$$(x-7)^2+(y-10a)^2=1$$

Таким образом, это полуокружность. Ее центр имеет координату по оси $x_0=7$ и радиус, равный 1. А вот по оси $y$ наша окружность перемещается вверх-вниз (на $10a$). Почему полуокружность? Потому что $y-10a \geqslant 0$.

Одно из решений в задаче 12

Если полуокружность и прямая касаются, то можно подставить в уравнение окружности $y=ax+1$, и полученное уравнение должно иметь дискриминант, равный нулю. Делаем!

$$(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1$$

$$x^2-14x+49+a^2x^2+1+100a^2-20a^2x+2ax-20a=0$$

$$x^2(1+a^2)+x(2a+14-20a^2)+50-20a+100a^2=0$$

Дискриминант, деленный на 4, будет равен

$$\frac{D}{4}=(a-7-10a^2)^2-(a^2+1)(50-20a+100a^2)=a^2+49+100a^4-20a^3-14a+140a^2 -(50a^2-20a^3+100a^4+50-20a+100a^2)=-9a^2+6a-1$$

$$9a^2-6a+1=0$$

$$a=\frac{1}{3}$$

Это решение вполне удовлетворяет ОДЗ.

Удобнее все-таки сделать полуокружность неподвижной, а прямую двигать.

Ответ: $a=0, a=\frac{1}{3}$.