Простая физика
Параметры (18)
Категория:
Параметры (18)Два симпатичных параметра
Попалась несложная задачка с параметром, представляю ее вам!
Задача 1.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$2(2a+1)\sin x+(4a+1)\sin 2x+2\sin x \cos 2x=0$$
имеет ровно три различных решения, принадлежащих отрезку $[0; \pi]$?
Решение. Вытащим $\sin x$ за скобку:
$$\sin x(2(2a+1) +(4a+1)\cdot 2\cos x+2\cos 2x)=0$$
Тогда
$$\sin x=0$$
$$x=\pi n$$
Даст на на указанном отрезке уже...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 3
Решим несколько задач с параметрами. Все эти задачи будут тригонометрическими уравнениями с параметрами.
Задача 1. Решите уравнение:
$$\mid \sin x \mid =2-a$$
Так как $\sin x$ функция ограниченная, то правая часть изменяется от 0 до 1. Переберем все возможные значения $a$.
При $a=2$ имеем
$$\sin x=0$$
У этого уравнения решение $x=\pi...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 2
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ множества решений уравнений $4\cos^2 x=a^2-6$ и $1-\cos 2x=\frac{a}{6}$ совпадают?
Решение. Рассмотрим первое уравнение.
$$4\cos^2 x-2=a^2-8$$
$$2\cos 2x=a^2-8$$
$$\cos 2x=\frac{a^2-8}{2}$$
Рассмотрим второе уравнение.
$$\cos 2x=1-\frac{a}{6}$$
Приравняем правые части при равных левых:
$$\frac{a^2-8}{2}=1-\frac{a}{6}$$
$$a^2-8=2-\frac{a}{3}$$
$$a^2-10+\frac{a}{3}=0$$
$$D=\frac{361}{9}$$
Корни $a=3$, $a=-\frac{10}{3}$. Это – претенденты на ответы. Их надо обязательно проверить.
Если у уравнений нет решений...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром - 1
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin 2x(\sin2x-1)=0$ и $(a+3)\sin^2 2x-\sin 2x\cdot \cos 4x-(a+4)\sin 2x=0$ равносильны?
Решение. Первое уравнение имеет корни, даваемые при решении уравнений $\sin 2x=0$ и $\sin 2x=1$. Мы их запишем и отложим пока, не будем решать. А посмотрим, какие решения у...
Категория:
Параметры (18)Задача про желоб
Задача звучит так: имеется желоб с сечением в виде равнобедренной трапеции, боковые стенки и основание - по 10 см. Каким должен быть верхний открытый край желоба, чтобы его вместимость была бы максимальной? Решение. Понятно, что необходимо добиться максимальной площади сечения такого желоба, тогда и объем...
Категория:
Параметры (18)Неравенство и уравнение с параметром
В статье приведены решения неравенства с параметром и уравнения с параметром.
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства содержит $\left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right]$?
$$\frac{a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4}{\sin^2 x+a^2+1}<1$$
Решение.
Так как $\sin^2 x+a^2+1>0$, домножим на знаменатель.
$$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<\sin^2 x+a^2+1$$
$$ a-(a^2-2a+0,5)\cos x+4<1-\cos^2 x+a^2+1$$
$$\cos^2 x-(a^2-2a+0,5)\cos x-a^2+a+2<0$$
Получили квадратное уравнение относительно $\cos...
Категория:
Параметры (18)Системы с параметром
Решим две системы с параметром. В обоих случаях необходимо большое число решений.
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ система $$\begin{cases}{2\mid xy-3y-4x+12\mid=a^2+2a-z-30}\\{ 3a^2-a-z-32=0}\\{ z-x^2-y^2+6x+8y=0}\end{cases}$$ имеет 4 решения? Решение. $$\begin{rcases}{2\mid x-3\mid \cdot\mid y-4\mid=-2a^2+3a+2} \\ { (x-3)^2+(y-4)^2=3a^2-a-7}\\{ z=3a^2-a-32}\end{rcases}$$ Введем новые обозначения: $$\mid x-3\mid=u$$ $$\mid y-4\mid=\upsilon$$ Каждому $u>0$...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром от ЗФТШ
Еще одна задача с параметром от ЗФТШ.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $f(x) = \mid a +3 \mid\sqrt[3]{x}$ имеет четыре решения, где $f$ - четная периодическая функция с периодом $T = \frac{16}{3}$, определенная на всей числовой прямой, причем $f(x) =...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 11
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 19.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{Bmatrix}{ \mid y + 6 –...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 10
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 17.
На координатной плоскости $xOy$ рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
$$\begin{Bmatrix}{...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 9
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 15.
Найдите количество решений следующего уравнения в зависимоcти от значений параметра $a$ (где$ \{x\}$ – дробная часть...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 8
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 13.
Постройте графики следующих функций:
а) $f(x) = [2x – 0,8]$;
б) $f(x) = \{2x +0,4\}$.
Квадратные скобки – операция...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 7
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 11.
В зависимости от параметра $a$ найдите количество решений уравнения
$$\mid\mid x+2 \mid -1 \mid = x +a.$$
Решение....
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 6
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.
Задача 9.
В зависимости от параметра $\a$ найдите число решений системы
$$\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid - \mid y \mid...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 5
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике "параметры".
Задача 7.
Графики функций $f(x) = 2x^2 +2x -1$ и $g(x) = -5x^2 – 2x +3$ пересекаются в...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 4
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!
Задача 6.
Изобразите на координатной плоскости $xOy$ множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
а) $2x^2 + \frac{x}{y} = 0$;
б) $x = - \frac{x^2 + y^2 +2}{4}$;
в) $xy = \frac{\mid x...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры – 3
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!
Задача 4.
Постойте графики следующих уравнений:
а) $\frac{x^2 + y^2}{2} = \mid x \mid - \mid y \mid +3,5$;
б) $\mid 2x – y \mid = \mid 2x +3y\mid$;
в) $\sqrt{(x -2)(y...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 2
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!
Задача 3.
С помощью преобразований графиков постройте графики следующих функций:
а) $y = \mid x^2 – 3\mid x \mid -2 \mid$;
б) $y = \mid \frac{1}{\mid x \mid -2x +2} \mid$;
в)...
Категория:
Параметры (18)Введение в параметры - 1
Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!
Задача 1.
Постройте графики следующих функций:
а) $y = \mid x \mid + \frac{x}{2}$;
б) $y = \frac{\mid x \mid}{x^2}$;
в) $y = \frac{1 – x^2}{\mid x \mid -1}$;
г) $y = 2...
Категория:
Параметры (18)Несложные задачи с параметром "для разминки"
Представляю несколько задач с параметром, которые показались мне одновременно несложными и полезными.
Задача 1.
Найти количество решений уравнения в зависимости от параметра $a$:
$$\mid \mid x+2\mid -1 \mid=x+a$$
Решение. Левая часть – неподвижная галка. Правая – подвижная прямая, которая, не меняя коэффициента наклона, может смещаться вверх и...
Категория:
Параметры (18)Простой параметр
Еще одна совсем несложная задача с параметром, которая может быть использована для «входа» в параметры.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$(x^2+4x+1)^2+2(x^2+4x)+5+a=0$$
имеет два различных корня.
Решение. В уравнении просматривается замена. Можно ее провести по-разному, но я предлагаю $t=x^2+4x+1$, тогда оно примет вид
$$t^2+2(t-1)+5+a=0$$
$$t^2+2t+3+a=0$$
Или
$$a=-t^2-2t-3$$
Парабола, ветви вниз, координаты...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром - аналитическое решение.
Решим задачу с параметром из ЕГЭ 2018 года. Можно было бы ее решать и графически, первое уравнение - некая подвижная окружность, второе - две пересекающиеся прямые. Но всегда нужно выбирать (по возможности) более простой путь.
Задача. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$$\begin{Bmatrix}{...
Категория:
Параметры (18)Прямая и подвижная полуокружность
Задача из ЗФТШ МФТИ для 10 класса. Очень неплохая. А когда у них были плохие задачи? Все как на подбор!
Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$10 a+\sqrt{-48+14x-x^2}=ax+1$$
имеет единственный корень.
Решение. Правая часть уравнения – прямая, проходящая через точку $(0;1)$ и меняющая свой коэффициент наклона...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром на определение числа корней уравнения
Страшное снаружи, доброе внутри...
Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$\left(x+\frac{1}{x-a}\right)^2-(a+9) \left(x+\frac{1}{x-a}\right)+2a(9-a)=0$$
Имеет 4 решения. (Реальный ЕГЭ 2014).
Решение. Заметим, что относительно $t=\left(x+\frac{1}{x-a}\right)$ уравнение является квадратным. Значит, необходимо, чтобы его дискриминант был бы положительным – тогда оно будет иметь два корня. И уравнения, полученные при обратной замене...
Категория:
Параметры (18)Три способа решить уравнение с параметром
В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$3\sin x+ \cos x =a$$
Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.
Решение. Способ 1.
Обозначим $\cos x=u$, $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года.
Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года. Очень простая, лично я люблю такие: с четкой графической интерпретацией.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых система
$$\begin{Bmatrix}{ \mid y-3-x\mid+\mid y-3+x\mid=6}\\{(\mid x\mid -4)^2+(\mid y\mid-3)^2=a}\end{matrix}$$
имеет ровно два решения.
Сразу видно, что второе уравнение системы задает систему окружностей переменного радиуса $\sqrt{a}$...
Категория:
Параметры (18)Биквадратное уравнение с параметром
Уравнение попалось в сети, с параметром. Давайте его решим, особенно интересно условие с прогрессией:
Определить целое число $m\neq 0$, для которого уравнение
$$x^4-(3m+2)x^2+m^2=0$$
имеет четыре действительных корня, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии.
Уравнение биквадратное, то есть его можно переписать в виде:
$$(x^2-a^2)(x^2-b^2)=(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)=0$$
Корни $-a; -b; b; a$ - именно в таком...
Категория:
Параметры (18)Задачи с параметром. Геометрический подход - 2
Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.
Задача 1.
Найти все $a$, при которых уравнение
$$\ln{5x-2}\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ x^2-2x+2a-2a^2\geqslant 0}\end{matrix}$$
Во втором неравенстве, если решать его как квадратное, корни будут $a$ и...
Категория:
Параметры (18)Задачи с параметром. Геометрический подход
Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически.
Задача 1.
Найти все $a$, при которых уравнение
$$\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).
$$\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0$$
$x=a$, если $a \in [0; \pi]$.
Скобка обращается в ноль только при...
Категория:
Параметры (18)Задачи с параметром. Аналитический подход - 2
Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.
Задача 1.
Найти все $a$, при которых уравнение
$$\frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a}=1$$
имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна).
Приведем к общему знаменателю:
$$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x+2)(x-a)}=0$$
$$\frac{x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-2x+2a+ax}{(x+2)(x-a)}=0$$
$$\frac{x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2}{(x+2)(x-a)}=0$$
Если дискриминант числителя $D<0$, то решений нет.
Если дискриминант числителя $D=0$, то
$$D=(2a+1)^2-8a^2-8a+8$$
$$D=-4a^2-4a+9=0$$
$$a=\frac{-2\pm \sqrt{4+36}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$$
При таких $a$ корень...
Категория:
Параметры (18)Задачи с параметром. Аналитический подход
Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.
Задача 1.
Найти все $a$, при которых уравнение
$$\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2-3x-a$$
имеет ровно три корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).
Решение. Возведем в квадрат:
$$x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2-6x^3-2ax^2+6ax$$
$$6x^3+(2a-18)x^2-6ax=0$$
$$6x\left(x^2+\left(\frac{a}{3}-3\right)x-a\right)=0$$
Чтобы корни были разными, $a\neq -9; a\neq 0$.
Корни $x=\frac{a}{3}$; $x=0; x=3$.
Проверяем: при $x=0$
$$\sqrt{a^2}=-a$$
То есть $a\leqslant 0$.
При...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром и логарифмами
Разберем задачу с параметром и логарифмами.
Задача. Найдите все $a\neq 0$, при которых неравенство
$$\log^2_4 (x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)-\log_4 \frac{a^2}{4}\cdot \log_4(x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}+a+1)\leqslant 0$$
не имеет решений.
Решение.
Показать
Если $\frac{a^2}{4}=1$, то $a^2=4$, $a=\pm 2$.
При $a=2$
$$\begin{Bmatrix}{x^2-6x+12> 0}\\{ x^2-6x+12\leqslant 1} \end{matrix}$$
Решений нет.
При $a=-2$
$$\begin{Bmatrix}{x^2+6x+8> 0}\\{ x^2+6x+8\leqslant 1} \end{matrix}$$
Решения есть.
Если...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром: два способа решения.
Предлагаю вам решить неравенство двумя способами: на плоскости OXA и аналитически.
Задача. При каких $a$ решением неравенства является отрезок длины 1?
$$\mid 2x-a \mid +1 \leqslant \mid x+3 \mid$$
Первый способ решения.
Модули меняют знаки при $a=2x$ и $x=-3$. Построим указанные прямые на параметрической плоскости $OXA$. Они нам разобьют...
Категория:
Параметры (18)Три решения одной задачи с параметром
Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.
Задача. При каких $a$ уравнение
$$x^4+(a-1)x^3+x^2+(a-1)x+1=0$$
имеет ровно 1 отрицательный корень?
Решение 1.
Пусть $1- a =b$, тогда
$$ x^4-bx^3+x^2-bx+1=0$$
$$x^3(x-b)+x(x—b)+1=0$$
$$(x-b)( x^3+x)=-1$$
Если $x=b$, то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при...
Категория:
Параметры (18)Две похожие и разные задачи с параметром
Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$5^{x^3-6x^2+34}-(a+2)\cdot {\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}+a^2-7a+12=0~~~(1)$$
Имеет 5 решений?
Давайте введем замену: $t={\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}$. Тогда уравнение можно переписать:
$$t^2-(a+2)t+a^2-7a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-6x^2+34$. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:
$$f’(x)=3x^2-12x$$
Производная...
Категория:
Параметры (18)Вступительный экзамен в гимназию при ВШЭ-2019. Разбор демоварианта.
Спасибо подписчикам, которые снабжают интересными задачами и дают повод для написания статьи. Разбираем демовариант вступительного текущего года в гимназию при ВШЭ. Документ здесь.
Задача 1.
Решить уравнение.
$$(x^3+x(\sqrt{x+1})^2-3x)\cdot\frac{x^2-1}{x^2+x}=0$$
Решение: подкоренное выражение неотрицательно:
$$x+1 \ge 0$$
$$x \geqslant -1$$
Знаменатель не равен нулю:
$$ x^2+x \neq 0$$
$$ x(x+1) \neq 0$$
$$...
Категория:
Параметры (18)Вступительный экзамен в лицей НИУ ВШЭ, вторая часть демонстрационной версии 2018
В этой статье мы рассмотрим задачи вступительного экзамена в лицей НИУ ВШЭ, вторую часть демонстрационной версии 2018. Первая часть - совсем простая, я не стала выставлять решения. Однако тем, кто сдает, могу порекомендовать отнестись к ней крайне внимательно: экзаменаторы часто предпочтение отдают абитуриентам "с крепкой...
Категория:
Параметры (18)Система с параметром. Теорема Виета.
При решении этой задачи была использована теорема Виета, и это очень облегчило решение и сделало его прозрачным. Заметить, что именно этот путь надо выбрать, может помочь опыт решения подобных задач.
Задача. При каких значениях параметра $a$ система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{y^2-2xy+4y-x^4-2x^3+4x^2=0}\\{y –ax+3a-1=0}\end{matrix}$$
Рассмотрим первое уравнение системы. Его...
Категория:
Параметры (18)Два способа решения одной задачи с параметром
В этой статье предложены два способа решения одной и той же задачи с параметром, оба графические, но все же отличные. Выбирайте, который вам ближе.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$\mid x^2-2x-3 \mid -2a =\mid x-a \mid-1 $$
имеет три решения?
Первый способ решения. Выясняем точки изломов графиков, потом...
Категория:
Параметры (18)Количество решений в задаче с параметром
В этой задаче нужно очень внимательно разобрать все возможные варианты, которые могут обеспечить наличие трех решений исходного уравнения. Всегда для этого полезно нарисовать картинку: так проще провести анализ и наложить условия, которые помогут проще найти значения параметра.
При каком значении параметра $a$ уравнение
$$\sin^2 x + (a-2)^2...
Категория:
Параметры (18)Теорема Виета в задаче с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)(...
Категория:
Параметры (18)Уравнение с параметром. Теорема Виета
При решении данного уравнения проведен анализ, в каких случаях может оказаться, что у квадратного уравнения один корень, и подробно рассмотрены все такие случаи.
При каком значении параметра $a$уравнение
$$25^x-(8a+5)\cdot 5^x+16a^2+20a-14=0$$
имеет одно решение?
Первое, что приходит в голову, - ввести замену. Сделаем замену $t=5^x$, $t>0$. Тогда
$$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$$
У этого уравнения могут...
Категория:
Параметры (18)Площадь фигуры и параметр
Когда какое-либо уравнение задает фигуру, то всегда должна получиться замкнутая ломаная линия, причем линии излома можно просто установить. Понадобятся и геометрические знания: вспомним коэффициент подобия.
Задача. При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной уравнением
$$\mid 2x+y \mid + \mid x-y+3 \mid \leqslant a$$
будет равна 24?
Определяем линии...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и двумя модулями
В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись "малой кровью" - решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.
Задача. Найти значения параметра $a$, при которых решения неравенства $$(\mid x \mid+ \mid...
Категория:
Параметры (18)Параметр, модуль и пары параллельных прямых
В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.
Задача. Найти значение параметра $a$, при котором решение неравенства $$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2}...
Категория:
Параметры (18)Графическое решение неравенства с параметром и модулем
Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.
Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство выполняется на отрезке $x \in [-1;0]$:
$$\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2 \mid$$
Перепишем:
$$\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2 \mid\leqslant 0$$
Применим прием «борьбы» с...
Категория:
Параметры (18)Неравенство с параметром: применение различных приемов.
При решении этого неравенства применяется целый комплекс приемов и подходов: тут и домножение на сопряженное выражение, и искуственный прием при использовании рационализации логарифма, и сам метод рационализации, и использование графического метода при доведении до получения ответа.
Задача. Решите неравенство:
$$\log_a (x+4)\cdot \left((a+1)^{x+2}-a-1\right)( \mid x -4 \mid -2)...
Категория:
Параметры (18)Параметр, модуль и нечетное количество корней уравнения
При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат, а третий...
Категория:
Параметры (18)Три системы с параметром
Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.
Задача 1.
При каких значениях параметра $a$ система уравнений
$$\begin{Bmatrix}{x^2-(2a+1)x+a^2-3=y}\\{y^2 –(2a+1)y+a^2-3=x}\end{matrix}$$
имеет одно решение?
Заметим, что оба уравнения очень друг на...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром
Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный - графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ - но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$
имеет одно решение?
Обратим...
Категория:
Параметры (18)Сложная задача с параметром
В этой интересной задаче сошлись как использование свойств функций, так и графические приемы решения. Даже в самом конце решения, при записи ответа, нужно подставлять значения $x$ в "правильное" неравенство, следя за тем, оказались ли мы выше или ниже разделительной прямой.
Задача. При каких значениях параметра $a$ неравенство
$$2^{\mid 9a+6x \mid+x^2-9}...
Категория:
Параметры (18)Свойства функции в задачах с параметром
При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует "бывшая" переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам...
Категория:
Параметры (18)Уравнение с параметром
В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта,...
Категория:
Параметры (18)Два уравнения с параметрами
При решении одного из представленных уравнений используется монотонность функции, второе - использует свойства квадратного трехчлена и его корней. Чтобы правильно выбрать оптимальный путь решения задачи с параметрами, нужно иметь опыт решения подобных задач. Поэтому рецепт один: решать.
Задача 1.
При каком значении параметра $a$ решение...
Категория:
Параметры (18)Неравенства с параметрами, множество решений которых - отрезок
В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе - графически.
Задача 1.
Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства
$$\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0$$
относительно...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром. Полуокружность
Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность.
Задача. Чему равно значение параметра $m$, если уравнение
$$mx-\sqrt{-x^2-28x+380}=-110+11m+10x$$
имеет единственное решение?
Перепишем немного иначе:
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= mx +110-11m-10x $$
Поработаем с правой частью:
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= x(m-10) -11(m-10)$$
$$\sqrt{-x^2-28x+380}= (x-11)(m-10)$$
Теперь займемся левой частью.
$$\sqrt{-x^2-28x-196+576}= (x-11)(m-10)$$
$$\sqrt{-(x+14)^2+576}= (x-11)(m-10)$$
В левой части имеем уравнение...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрия и параметр
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача. Найдите значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение
$$3(x-2)^2=-2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)-3a+3$$
имеет решения.
Перепишем уравнение иначе:
$$3(x^2-4x+4)+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3x^2-12x+12+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3x^2-9x+3-3x+3a+6= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3(x^2-3x+1)-3(x-a-2)= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$
$$3(x^2-3x+1)+2\sin(x^2-3x+1)=3(x-a-2)+2\sin(x-a-2)$$
Видим, что выражения справа и слева очень...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и модулем
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача: Найти все значения параметра $p$, при каждом из которых уравнение
$$\mid x^2-36 \mid – 8 \mid x-p \mid +2p=0$$
Относительно переменной $x$ имеет ровно...
Категория:
Параметры (18)Тригонометрические уравнения с параметром
Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!
Задача 1.
Найдите все значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение
$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-(q^2-9q)( (\operatorname{tg} {a}+2)-9q^3=0$$
Относительно величины $a$ имеет ровно 89 решений на...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром и логарифмом
Задачи с параметрами - одни из самых сложных в ЕГЭ. В школе такие задачи не изучают, или изучают поверхностно: самые простые и как правило на факультативах для наиболее сильных учеников. Однако освоить эти задачи можно, для этого, как и во всем, необходим опыт решения.
Задача. Найти...
Категория:
Параметры (18)Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.
Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:
$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$$
Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.
Аналитическое решение.
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$ x^3-9a^2x \neq 0$$
$$ x(x^2-9a^2) \neq 0$$
$$ x(x-3a)(x+3a) \neq 0$$
Тогда $x \neq 0$, $x \neq 3a$, $x \neq -3a$.
Преобразуем уравнение:
$$x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x$$
$$x^2-2x+a=...
Категория:
Параметры (18)Несложная задача с параметром
Задача. Найдите все положительные значения параметра $p$, при каждом из которых система
$$\begin{Bmatrix}{-7y+2x+4=0}\\{y-2<0}\\{y^2+x^2-p^2=0}\\{0-y\leqslant0}\end{matrix}$$
относительно величин $x$ и $y$ имеет ровно одно решение.
Упростим:
$$\begin{Bmatrix}{y=\frac{2x+4}{7}}\\{y<2}\\{y^2+x^2=p^2}\\{y\geqslant0}\end{matrix}$$
Первое уравнение – уравнение прямой, оба коэффициента которой известны, следовательно, прямая «стационарна». Второе и четвертое неравенства задают две горизонтальные прямые и ограничивают область, в которой должно...
Категория:
Параметры (18)Красивый график уравнения в задаче с параметром
Предлагаю решить интересную задачу с параметрами: определить значения параметра $a$, при котором система имеет более двух решений.
$$\begin{Bmatrix}{\mid x^2-2x\mid+x^2=\mid y^2-2y\mid+y^2}\\{x+y=a}\end{matrix}$$
Если со вторым уравнением системы все понятно – это прямая с постоянным коэффициентом наклона, параллельная биссектрисе второго-четвертого квадрантов, скользящая вверх-вниз в зависимости от значения параметра, то с...
Категория:
Параметры (18)Параметр: окружности и прямая
Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{6x+6y-18=\mid x^2+y^2-9 \mid}\\{y=ax+3}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься с...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром: прямая и окружности
Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid y-2x \mid}\\{y=a(x+2)-4}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром, система с модулем
Задачи с параметром - одни из самых сложных в ЕГЭ, но зато и самые интересные. Решать их - одно удовольствие. Всем рекомендую подружиться с параметрами и не бояться сложных задач.
Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?
$$\begin{Bmatrix}{x^2+2x+y^2+4y=4 \mid2x-y \mid}\\{x+2y=a}\end{matrix}$$
Раскроем модуль. Он будет сниматься...
Категория:
Параметры (18)Несложная задача 20 (С5). Графическое решение.
//
//
Всех с Новым Годом! Чем еще заниматься 1...
Категория:
Параметры (18)Задача с параметром. С5.
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения.
Понятно, что первое уравнение - это уравнение окружности с центром в точке (4;4) и радиусом 3. Что представляет собой второй график? Это...
Категория:
Параметры (18)Интересная задача с параметром про окружности.
Здравствуйте, дорогие читатели! Сегодня мне попалась красивая задача с параметром, и хотелось бы поделиться с вами решением.
Задача такая: найти положительное значение параметра a, такое, чтобы система имела единственное решение.
Сразу можно заметить, что оба уравнения...