Экстремальные задачи

Задача 1.

В фигуру, ограниченную графиками $f(x)=x^2-4$ и $g(x)=4-x^2$, вписана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, параллельными оси $Ox$, причем $AD=2BC$. Найдите ее площадь, если известно, что она принимает наибольшее возможное значение.

Решение. Сделаем рисунок.

Рисунок к задаче 1

Пока предполагаем, что основания трапеции лежат на разных кривых. Примем абсциссу точки $C$ за $x$, тогда абсцисса точки $D$ равна $2x$ - по той причине, что основания отличаются по длине вдвое. Определим ординаты этих точек:

$$y_1=4-x^2$$

$$y_2=(2x)^2-4=4x^2-4$$

Ордината точки $D$ - отрицательна.

Высота трапеции – сумма модулей ординат.

$$h=\mid y_1 \mid+\mid y_2 \mid=\mid 4-x^2 \mid+ \mid 4x^2-4 \mid =4-x^2-4x^2+4=-5x^2+8$$

Определяем площадь трапеции:

$$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{2x+4x}{2}\cdot (8-5x^2)=3x(8-5x^2)$$

Определим производную и приравняем к нулю, чтобы найти максимум площади:

$$S’=(3x(8-5x^2))’=3(8-5x^2)+3x\cdot (-10x)=24-15x^2-30x^2=24-45x^2=0$$

$$x^2=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$$

$$S=3\cdot \sqrt{\frac{8}{15}}\cdot \left(8-5\cdot \frac{8}{15}\right)=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\cdot \frac{16}{3}=\frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{15}}$$

Ответ: $S=\frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{15}}$.

 

Задача 2.

В эллипс $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ вписан прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Найдите его площадь, если известно, что она принимает наибольшее возможное значение.

Решение.

Рисунок к задаче 2

Если координаты указанной точки $(x; y)$, то площадь прямоугольника $2x\cdot 2y=4xy$. То есть нужно стремиться к тому, чтобы произведение $xy$ было максимально. Выразим $y$ из уравнения эллипса:

$$4x^2+9y^2=36$$

$$y^2=\frac{36-4x^2}{9}$$

$$y=\frac{\sqrt{36-4x^2}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}$$

Берем производную и приравниваем к нулю:

$$(xy)’=\left(\frac{2x}{3}\sqrt{9-x^2}\right)’=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}+x\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0$$

$$\sqrt{9-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}=0$$

$$9-x^2=x^2$$

$$2x^2=9$$

$$x^2=4,5$$

$$y^2=4-\frac{4}{9}\cdot 4,5=2$$

Определим площадь:

$$S=4xy=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{9}{2}}=12$$

Ответ: 12.

 

Задача 3.

В эллипс $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ вписан прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Найдите его периметр, если известно, что он принимает наибольшее возможное значение.

Решение. Если координаты указанной точки $(x; y)$, то периметр прямоугольника $4x+ 4y$. То есть нужно стремиться к тому, чтобы сумма $x+y$ была максимальной. Выразим $y$ из уравнения эллипса:

$$9x^2+4y^2=36$$

$$y^2=\frac{36-9x^2}{4}$$

$$y=\frac{\sqrt{36-9x^2}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$$

Определяем производную суммы $x+y$:

$$\left(x+\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}\right)’=1+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=1-\frac{3x}{2\sqrt{4-x^2}}=0$$

$$3x=2\sqrt{4-x^2}$$

$$9x^2=4(4-x^2)$$

$$13x^2=16$$

$$x^2=\frac{16}{13}$$

$$x=\frac{4}{\sqrt{13}}$$

$$y^2=9-\frac{9}{4}\cdot \frac{16}{13}=\frac{81}{13}$$

$$y=\frac{9}{\sqrt{13}}$$

Периметр

$$P=4(x+y)=4\left(\frac{4}{\sqrt{13}}+\frac{9}{\sqrt{13}}\right)=4\sqrt{13}$$

Ответ: $P=4\sqrt{13}$.