Перевод бесконечных периодических дробей в обыкновенные

В этой статье научимся представлять бесконечные периодические дроби обыкновенными дробями или смешанными числами. На сайте уже есть статья на эту тему – там представлен другой, сложный для запоминания, алгоритм. Здесь я постараюсь объяснить проще.

Задача 1.

Представить число $2,(36)$ в виде смешанного числа.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит две цифры - 36. Значит, нужно умножить это число на число 100 (содержит 2 нуля – как 1 период исходного числа) и число 10000 (содержит 4 нуля, как два периода исходного числа). Получим $236,(36)$ и $23636,(36)$. Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

$$23636,(36)- 236,(36)=23400$$

И полученную разность разделим на разность $10000-100=9900$:

$$\frac{23400}{9900}=\frac{234}{99}=\frac{26}{11}=2\frac{4}{11}$$

Ответ: $2\frac{4}{11}$

Задача 2.

Представить число $5,1(6)$ в виде смешанного числа.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит одну цифру - 6. Значит, нужно умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль – как 1 период исходного числа) и число 100 (содержит 2 нуля, как два периода исходного числа). Получим $51,(6)$ и $516,(6)$. Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

$$516,(6)- 51,(6)=465$$

И полученную разность разделим на разность $100-10=90$:

$$\frac{465}{90}=\frac{93}{18}=\frac{31}{6}=5\frac{1}{6}$$

Ответ: $5\frac{1}{6}$

Задача 3.

Представить число $0,58(3)$ в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит одну цифру - 3. Но, если умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль – как 1 период исходного числа) и число 100 (содержит 2 нуля, как два периода исходного числа). Получим $5,8(3)$ и $58,(3)$. Как видно, периоды полученных чисел равны. Однако у первого числа между запятой и периодом стоит цифра 8. Этого быть не должно. Тогда применим другой подход: умножим данное число на 100 и 1000: 58,(3) и 583,(3). Теперь вычтем из большего меньшее:

$$583,(3)- 58,(3)=525$$

И полученную разность разделим на разность $1000-100=900$:

$$\frac{525}{900}=\frac{105}{180}=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$$

Ответ: $\frac{7}{12}$

Задача 4.

Представить число $0,(45)$ в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит две цифры - 45. Значит, нужно умножить это число на число 100 (содержит 2 нуля – как 1 период исходного числа) и число 10000 (содержит 4 нуля, как два периода исходного числа). Получим $45,(45)$ и $4545,(45)$. Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

$$4545,(45)- 45,(45)= 4500$$

И полученную разность разделим на разность $10000-100=9900$:

$$\frac{4500}{9900}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

Ответ: $\frac{5}{11}$

Задача 5.

Представить число $0,0(945)$ в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит три цифры - 945. Да еще есть 0 между запятой и периодом.  Значит, нужно умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль, так как между запятой и периодом одна цифра) и число 10000 (содержит 4 нуля, так как одна цифра до периода и три цифры периода – как раз 4). Получим $0,(945)$ и $945,(945)$. Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

$$945,(945)- 0,(945)=945$$

И полученную разность разделим на разность $10000-10=9990$:

$$\frac{945}{9990}=\frac{189}{1998}=\frac{21}{222}=\frac{7}{74}$$

Ответ: $\frac{7}{74}$

Итак, алгоритм таков: число, представляющее собой бесконечную периодическую дробь, нужно умножить на числа 10,100, 1000, 10000 – так, чтобы у полученных чисел были бы одинаковые периоды и между запятой и периодом никаких цифр не было бы. Затем нужно вычесть из большего полученного числа меньшее, и эту разность разделить на разность использованных множителей. Полученную дробь сократить. Успехов!