Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - не опять, а снова!

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить систему неравенств:

---

 

Первое неравенство системы – несложное и не требует определения ОДЗ. Начнем с него.

Сделаем замену:

Четверть дискриминанта:

Корни: 

Решение неравенства:

Теперь сделаем обратную замену и запишем решение неравенства:

Решаем второе неравенство системы:

ОДЗ:

 

 

 

 

Второе неравенство всегда выполняется. Запрещенная точка, полученная в первом неравенстве – . Запрещенные точки из третьего неравенства – 0 и (-1).

Решаем само неравенство:

Меняем знаки и знак неравенства:

По Виету определяем корни трехчлена в числителе:

Решение по методу интервалов:

[) [)

Наконец, накладываем решение обоих неравенств на ОДЗ:

[)

 

 

Задание 2. Решить систему неравенств:

---

 

Решим первое неравенство, определим ОДЗ:

либо

И обязательно отметим, что

Решаем само неравенство, по определению логарифма:

Введем замену:

или

Первое неравенство решений не имеет. Во втором делаем обратную замену:

Решение:

либо

Наложим это решение на ОДЗ позже, а пока решим второе неравенство:

Числитель разложим на множители, а знаменатель попробуем упростить. Для этого разложим как разность кубов:

Трехчлен имеет положительный старший коэффициент, и при этом – отрицательный дискриминант, то есть он положителен при всех значениях х. Поэтому, если мы просто забудем про него, то знак неравенства не изменится:

Разложим числитель на множители:

и

Решение изображено на рис.

Ну и, наконец, применим ОДЗ и совместим решения обоих неравенств:

Решение неравенства : (]

 

 

Задание 3. Решить систему неравенств:

---

Решаем второе неравенство, по определению логарифма:

Раскладываем на множители числитель: сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, следовательно, корни (-1) и 1,5. Корень знаменателя – 2/3:

Решение: (] (]

Теперь определим ОДЗ, ведь мы имеем дело с логарифмическим неравенством:

Сумма коэффициентов числителя равна нулю, поэтому корни: 1 и (-3,5):

ОДЗ:

Решим теперь первое неравенство, а затем наложим оба решения на ОДЗ:

Вводим замену:

Корни по Виету: 8 и 4.

Решение неравенства с заменой: (] [ )

Обратная замена:

,

,

Решение неравенства : (] [ )

Накладываем решения обоих неравенств на ОДЗ:

Решение всей системы:

(]

 

Задание 4. Решить систему неравенств:

---

 

ОДЗ неравенства:

Решение, второе неравенство:

Вводим замену:

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, корни 1 и .

Решение неравенства с заменой:

Переходим обратно к переменной х:

Или

– заметим, что данный логарифм – величина отрицательная, и меньше (-2).

Иными словами, значения х, удовлетворяющие второму неравенству – все неположительные.

 

Тогда первое неравенство:

Можно записать так:

При условии , :

,

При условии , , или , ,

,

Тогда получили решение второго неравенства, состоящее из двух частей:

[)

Осталось наложить решение данного неравенства на решение предыдущего:

Проверка показывает, что общее решение принадлежит ОДЗ полностью.

[)

 

 

Задание 5. Решить систему неравенств:

---

 

Решаем второе неравенство:

Вводим замену:

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, корни 1 и 8.

Решение неравенства с заменой:

(] [)

Обратная замена:

или

или

Решение неравенства:

(][)

Решаем первое неравенство системы, определяем ОДЗ:

Первое неравенство системы ОДЗ выполняется всегда в силу отрицательности дискриминанта и положительности первого коэффициента. Второе неравенство – аналогично, выполняется всегда. Третье накладывает условие: 

Последнее неравенство:

Сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, поэтому корни: (-1) и (-1/3)

Получили ОДЗ:

Решение самого неравенства состоит из двух частей в зависимости от основания:

Так как второе неравенство этой системы не выполняется никогда, то и решений система не имеет.

Либо:

Точки 0 и 4 – корни первого неравенства, его решение -

Решение данной системы и в целом первого неравенства:

[) (]

Накладываем теперь решения обоих неравенств друг на друга и на ОДЗ:

[) (]