Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - еще немного!

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство:

---

 

Обозначаем: за :

Корни по Виету:

Получили два новых неравенства:

и

Решаем первое:

Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:

Решение

Решаем второе:

Основание логарифма больше 1 – знак неравенства сохраняем:

Этот трехчлен всегда больше 0, так как дискриминант его отрицателен, а старший коэффициент – положителен. Неравенство не имеет решений.

Решение первого неравенства накладываем на ОДЗ:

Так как сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, то первый корень – (-1),  а второй – 4.

Тогда ОДЗ:

Общее решение:

 

Задание 2. Решить неравенство:

---

 

Составляем систему уравнений ОДЗ:

Решение предпоследнего неравенства изображено на рисунке:

Решение последнего:

ОДЗ полностью:

Теперь решим само неравенство:

Перетащим единицу влево и заменим ее дробью, значение которой равно 1, приводим, таким образом, к общему знаменателю:

Произведение подлогарифмических выражений заменим суммой логарифмов:

Вводим замену:

Получаем:

– это неравенство выполняется лишь при одном условии: ,

Наше неравенство выродилось в уравнение, делаем обратную замену:

Корень, равный нулю, посторонний – не входит в ОДЗ, остается один:

Ответ:

 

Задание 3. Решить неравенство:

---

 

Решение неравенства:

ОДЗ данного неравенства:

Решение первого:

Второе неравенство ОДЗ выполняется всегда.

Тогда ОДЗ:

Окончательное решение неравенства с учетом ОДЗ: (]

 



Задание 4. Решить неравенство:

---

 

ОДЗ данного неравенства – не равенство нулю знаменателя:

 

Так как в знаменателе – квадрат, то неравенство может быть преобразовано к виду:

Замена:

Решение неравенства:

Так как мы ввели замену , то первый корень – отрицательный – посторонний. Вводим обратную замену:

Тогда решение:

Теперь, чтобы записать ответ, нужно наложить на это решение ОДЗ, а для этого нужно сравнить числа и – это выколотая точка ОДЗ.

Преобразуем число :

Так как в этой сумме два последних слагаемых, очевидно, отрицательные, то

Таким образом, решение неравенства:

 

Задание 5. Решить неравенство:

---

 

ОДЗ:

Корнями последнего будут:

На рисунке показаны решения всех неравенств и выполнено наложение решений друг на друга, записываем ОДЗ: ( ] [)

Решаем само неравенство:

или

Решаем первое неравенство первой системы:

Возведем в квадрат:

Так как выражение под левым модулем всегда неотрицательно, то модули можно просто снять:

Корни для решения второго неравенства уже найдены:

Решение неравенства:

Решение системы: (]

Решение второй системы данной совокупности совершенно аналогично, только, согласно знаку неравенства, выбираем другие области:

Решение системы: (]

 

Задание 6. Решить неравенство:

---

 

Определим ОДЗ:

Решение первого неравенства системы ОДЗ найдем по методу интервалов:

Второе неравенство системы:

Полученные значения – запрещенные, и будут нами выколоты из области допустимых значений.

Третье неравенство системы, кажется, выполняется всегда, однако здесь можно допустить ошибку: неравенство строгое, то есть можно записать его так:

Окончательно ОДЗ:

Решение системы:

 

Теперь решаем само неравенство:

Если основание больше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с сохранением знака неравенства:

– решение актуально при условии , то есть при

Если основание больше нуля, но меньше 1, то переходим к сравнению подлогарифмических выражений с изменением знака неравенства:

– решение актуально при условии , то есть при ({-1-sqrt{5}}/2; -1) union (0;{-1+sqrt{5}}/2)

Изобразим это на рисунке:

Осталось на два этих решения наложить ОДЗ, и дело в шляпе! Решение:

(]

 

 

Задание 7. Решить систему неравенств:

---

 

ОДЗ:

Решим сначала второе неравенство:

Теперь основания одинаковые и можно перейти к сравнению показателей степеней с сохранением знака неравенства, так как основание больше 1:

Получили квадратное неравенство:

, или

По Виету легко находим корни:

Решение неравенства уже с учетом ОДЗ:

[))

Решим теперь первое неравенство, используем метод рационализации:

Преобразуем неравенство:

Решение:

Накладываем решение этого неравенства на решение предыдущего и ОДЗ:

Решение: