Учимся решать задачу 19. Часть 7

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – седьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

Решить в натуральных числах  $n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1)$.

$$(n^2-3n)(n^2-3n+2)= m(m-1)$$

Если $ n^2-3n=t$, то

$$t(t+2)= m(m-1)$$

$$t^2+2t-(m^2-m)=0$$

Решаем как квадратное:

$$D=4+4m^2-4m=(2m-1)^2+3=z^2$$

Тогда

$$z^2-(2m-1)^2=3$$

$$(z-2m+1)(z+2m-1)=3\cdot 1=1\cdot 3=(-1)\cdot(-3)=(-3)\cdot(-1)$$

Первый случай:

$$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =3}\\{ z+2m-1=1 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=4$$

$$z=2$$

$$m=0$$

Искать $n$ нет смысла, $m$ в данном случае – не натуральное.

Второй случай:

$$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =1}\\{ z+2m-1=3 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=4$$

$$z=2$$

$$m=1$$

$m$ - натуральное, находим $n$.

$$t^2+2t=0$$

$t=0$ или $t=-2$

$$ n^2-3n=0$$

$$n=3$$

$$ n^2-3n=-2$$

$$n=1$$

$$n=2$$

Получили три пары: $(1; 3)$, $(1;2)$ и $(1; 1)$.

Третий случай:

$$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-1}\\{ z+2m-1=-3 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=-4$$

$$z=-2$$

$$m=0$$

Четвертый случай:

$$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-3}\\{ z+2m-1=-1 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=-4$$

$$z=-2$$

$$m=1$$

Здесь получатся те же значения $n$.

Ответ: три пары: $(1; 3)$, $(1;2)$ и $(1; 1)$.

Задача 2.

Решить в натуральных числах  $x^6=y^3+217$.

$$ x^6-y^3=217$$

Раскрываем разность кубов:

$$(x^2-y)(x^4+x^2y+y^2)=217=7 \cdot31=217\cdot1$$

Так как $x^4+x^2y+y^2>0$, то $x^2-y>0$ и $x^2>y$.

Значение выражения в первой скобке меньше, чем во второй. Поэтому  либо

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-y=1}\\{ x^4+x^2y+y^2=217} \end{matrix}$$

либо

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-y=7}\\{ x^4+x^2y+y^2=31} \end{matrix}$$

Решаем первое:

$$x^2=y+1$$

Подставим во второе:

$$ (y+1)^2+(y+1)y+y^2=217$$

$$y^2+y-72=0$$

$$y=8$$

$$x=3$$

Теперь решим второе:

$$x^2=y+7$$

Подставим во второе:

$$ (y+7)^2+(y+7)y+y^2=31$$

$$y^2+7y+6=0$$

В этом случае решения не натуральные.

Ответ: (3; 8).

 

Задача 3.

Решить в натуральных числах  $2n-\frac{1}{n^5}=3-\frac{2}{n}$.

$$2n-3=\frac{1}{n^5}-\frac{2}{n}$$

Если $n>1$, то в правой части - дробь. А в левой – целое. Значит, $n=1$.

Ответ: $n=1$.

Задача 4.

Решить в целых числах  $(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy$.

а) Пусть одно из чисел, например, $x=0$. Тогда правая часть равна 0. Следовательно,

$$y^2(y-3)=0$$

$$y=0$$

$$y=3$$

Поскольку и $y$ может быть равно 0, то из этой симметрии получаем $x=3$.

В итоге имеем три пары (0;0), (0;3), (3;0).

б) Если $x \neq 0; y \neq 0$, то

$$x+y-3=\frac{2xy}{x^2+y^2}$$

Так как левая часть – целое, то и правая должна быть целой.

Тогда $\mid 2xy \mid\geqslant \mid x^2+ y^2\mid $

$$2\mid x\mid \cdot\mid y \mid\geqslant{\mid x \mid}^2+{\mid y \mid}^2$$

$$(\mid x \mid-\mid y \mid)^2\leqslant 0$$

Это значит, что

$$\mid x \mid=\mid y \mid$$

$$x=\pm y$$

Если $x=y$, то

$$2x^2\cdot (2x-3)=2x^2$$

$$2x^2\cdot (2x-4)=0$$

$x=0$ или $x=2$.

В последнем случае $y=2$.

Получили пару (2;2).

Если $x=-y$, то

$$2x^2\cdot (x-x-3)=2x^2$$

$$x=0$$

Этот случай рассмотрен выше.

Ответ: (0;0), (0;3), (3;0), (2;2).