Учимся решать задачу 19. Часть 6

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

Решить в целых числах  $6m^2-2n^2+mn=3$

Давайте решим это уравнение как квадратное:

$$6m^2+mn –(2n^2 +3)=0$$

$$D=n^2+4\cdot 6\cdot(2n^2+3)=49n^2+72$$

Так как решаем в целых числах, то дискриминант должен быть обязательно полным квадратом:

$$49n^2+72=z^2$$

Тогда

$$ z^2-49n^2=72$$

$$(z-7n)(z+7n)=72$$

Но $z+7n-(z-7n)=14n$, то есть разность четная. Значит, оба множителя – четные. Тогда

$$(z-7n)(z+7n)=4\cdot 18=18\cdot 4=(-4)\cdot(-18)=(-18)\cdot(-4)$$

Первый случай

$$\begin{Bmatrix}{ z-7n =4}\\{ z+7n=18 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=22$$

$$z=11$$

Тогда

$$n=1$$

Определим $m$

$$6m^2+m –5=0$$

Корни (-1) и $\frac{5}{6}$.

Получили пару (-1; 1).

Второй случай

$$\begin{Bmatrix}{ z-7n =-4}\\{ z+7n=-18 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=-22$$

$$z=-11$$

Тогда

$$n=-1$$

Определим $m$

$$6m^2-m –5=0$$

Корни (1) и $-\frac{5}{6}$.

Получили пару (1;- 1).

Третий случай

$$\begin{Bmatrix}{ z-7n =18}\\{ z+7n=4 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2z=22$$

$$z=11$$

Тогда

$$n=-1$$

Определим $m$

$$6m^2-m –5=0$$

Корни (1) и $-\frac{5}{6}$.

Получили пару (1; -1)

Четвертый случай даст снова пару (-1; 1).

Ответ: (1;-1), (-1; 1).

Задача 2.

Решить в целых числах  $x^2=xy^2+y^6+2y^4$.

Давайте решим это уравнение как квадратное:

$$x^2-xy^2-y^6-2y^4=0$$

$$D=y^4+4(y^6+2y^4)=9y^4+4y^6=y^4(9+4y^2)=d^2$$

Тогда, чтобы дискриминант был полным квадратом, нужно, чтобы

$$9+4y^2=k^2$$

$$k^2-4y^2=9$$

$$(k-2y)(k+2y)=9=1\cdot9=9\cdot1=(-1)\cdot(-9)=(-9)\cdot(-1)=3\cdot3=(-3)\cdot(-3)$$

Первый случай

$$\begin{Bmatrix}{ k-2y =1}\\{ k+2y =9 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2k=10$$

$$k=5$$

Тогда

$$y=2$$

$$d^2= 2^4(9+4\cdot 2^2)=25\cdot16=400$$

$$x=\frac{4+20}{2}=12$$

$$x=\frac{4-20}{2}=-8$$

Второй случай

$$\begin{Bmatrix}{ k-2y =9}\\{ k+2y =1 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2k=10$$

$$k=5$$

Тогда

$$y=-2$$

$$d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400$$

$$x=\frac{4+20}{2}=12$$

$$x=\frac{4-20}{2}=-8$$

Третий случай

$$\begin{Bmatrix}{ k-2y =-1}\\{ k+2y =-9 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2k=-10$$

$$k=-5$$

Тогда

$$y=-2$$

$$d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400$$

$$x=\frac{4+20}{2}=12$$

$$x=\frac{4-20}{2}=-8$$

В случае (-9;-1) будут те же корни, поэтому его не рассматриваем.

Пятый случай

$$\begin{Bmatrix}{ k-2y =3}\\{ k+2y =3 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2k=6$$

$$k=3$$

Тогда

$$y=0$$

$$d^2=0$$

$$x=0$$

Шестой случай

$$\begin{Bmatrix}{ k-2y =-3}\\{ k+2y =-3 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2k=-6$$

$$k=-3$$

Тогда

$$y=0$$

$$d^2=0$$

$$x=0$$

Ответ: (-8; 2), (-8;-2), (0;0), (12;2), (12;-2).

Задача 3.

Решить в натуральных числах $2k^2+7k=2mk+3m+36$.

$$2k^2+7k-36=2mk+3m$$

$$2k^2+7k-36=m(2k+3)$$

$$m=\frac{2k^2+7k-36}{2k+3}$$

$$m=\frac{2k^2+3k+4k+6-42}{2k+3}$$

$$m=\frac{k(2k+3)+2(2k+3)-42}{2k+3}$$

$$m=k+2-\frac{42}{2k+3}$$

Следовательно, дробь $\frac{42}{2k+3}$ - целое число. Тогда (2k+3) – кстати, нечетное - делитель числа 42. Это может быть $(\pm 1), (\pm 7), (\pm 21)$.

$$2k+3=7$$

$$k=2$$

$$2k+3=-7$$

$$k=-5$$

$$2k+3=-1$$

$$k=-2$$

$$2k+3=1$$

$$k=-1$$

$$2k+3=21$$

$$k=9$$

$$2k+3=-21$$

$$k=-12$$

Из всех решений натуральными являются $k=9$ и $k=2$.

При $k=9$ $m=9$.

При $k=2$ $m<0$.

Ответ: (9;9).