Учимся решать задачу 19. Часть 13.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – тринадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

Произведение чисел $a$ и $b$ делится на 113 с остатком, втрое большим числа $a$. Найдите наименьшее натуральное $m$, такое, что произведение чисел $m$ и $b$ делится на 113 с остатком 2.

По условию

$$ab=3a+113k$$

$$a(b-3)=113k$$

Так как $3a$ - остаток, то $3a<113$, $a<38$. Поэтому $a$ не может делиться на 113. Значит, на 113 делится $b-3$. Тогда можно представить $b$ как

$$b=113x+3$$

Также по условию

$$mb+2=113n$$

Итак, $b$ имеет остаток 3 при делении на 113, а $mb$ - остаток 2. Если так, то $3m$ тоже должно иметь остаток 2 при делении на 113. То есть

$$m=\frac{113x+2}{3}$$

Откуда $m_{min}=76$.

Ответ: 76.

Задача 2.

Если $a^2+2000a$ является полным квадратом, то каково наибольшее значение $a$?

$$ a^2+2000a=b^2$$

Слева – почти полный квадрат. Дополним до квадрата:

$$ a^2+2000a+1000^2=b^2+1000^2$$

$$(a+1000)^2= b^2+1000^2$$

Получим (выделим) разность квадратов:

$$(a+1000)^2-b^2=1000^2$$

$$(a+1000-b)(a+1000+b)=1000^2$$

Разность $a+1000+b$ и $a+1000-b$ - четна, произведение четно, и значит, оба множителя – четны.

Пусть $x=a+1000+b$, $y= a+1000-b$. Тогда

$$a+1000=\frac{x+y}{2}$$

$$xy=10^6$$

$$y=\frac{10^6}{x}$$

Сумма $x+y$ будет максимальна, если $x$ - минимально, $y$- максимально. Это следует из свойств гиперболы: чем сильнее отличаются $x$ и $y$, тем больше их сумма. Пусть $x=2$, $y=500000$. Тогда

$$ a+1000=\frac{x+y}{2}=\frac{500000+2}{2}=250001$$

$$a=250001-1000=249001$$

Ответ: $a=249001$.