Учимся решать задачу 19. Часть 1

Начинаю серию статей по подготовке к решению задачи 19. Это – первая статья данной серии, начнем с простых задач, которые в дальнейшем будут усложняться.

Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

На какие числа может быть сокращена дробь $\frac{2n+6}{3n+10}$, где $n$ - целое?

Определим НОД числителя и знаменателя дроби. Согласно  алгоритму Евклида, если два числа делятся на одно и то же число, то их разность тоже обязана на него делиться.

НОД $(2n+6; 3n+10)=$ НОД $(2n+6; 3n+10-(2n+6))=$ НОД $(2n+6; n+4)=$

НОД $(n+4; 2n+6-2(n+4))=$ НОД$(n+4; -2)$

Видим, что данная дробь может быть сокращена на 2, при условии, что $n$ - четное.

Ответ: 2.

Задача 2.

Найти все натуральные $n$, при которых дробь $\frac{2n+1}{n-2}$ будет целым числом.

Выделим целую часть:

$$\frac{2n+1}{n-2}=\frac{2n-4+5}{n-2}=2+\frac{5}{n-2}$$

То есть дробь $\frac{5}{n-2}$ должна быть целым числом, или, иными словами, 5 должно делиться на $n-2$. Это может быть, если $n-2=5$, $n-2=1$, $n-2=-1$, $n-2=-5$. В первом случае $n=7$ (натуральное), во втором - $n=3$ (тоже натуральное), в третьем случае $n=1$ (годится), а вот в последнем случае $n$ целое, но не натуральное.

Ответ:  1, 3, 7.

Задача 3.

Найти все натуральные $n$, при которых дробь $\frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}$ будет целым числом.

Выделим целую часть:

$$\frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}=\frac{(n^4+n^2)+(2n^2+2)+5}{n^2+1}=n^2+2+\frac{5}{n^2+1}$$

Число 5 должно делиться на $n^2+1$, то есть $n^2+1$ либо 1, либо 5.

В первом случае $n=0$, во втором - $n=2$. Последнее нас устроит, это натуральное число.

Ответ: $n=2$.

Задача 4.

Найти все натуральные $n$, при которых $n^5+2$ делится на $n+2$.

Выделим целую часть, для этого разделим в столбик многочлен на многочлен:

$$\frac{ n^5+2}{n+2}=n^4-2n^3+4n^2-8n+16-\frac{30}{n+2}$$

То есть $\frac{30}{n+2}$ - целое. Натуральными делителями числа 30 являются 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. При таких делителях $n$ будет равно -1, 0, 1, 3, 4, 8, 13, 28. Натуральными являются 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Ответ: 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Задача 5.

Дано трехзначное число (не может начинаться с 0), не кратное 100.

а) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) какое наибольшее натуральное значение может принимать частное этого числа и суммы его цифр?

Решим а). Пусть есть число $\overline{abc}$

$$\overline{abc}=100a+10b+c$$

Тогда

$$100a+10b+c=70(a+b+c)$$

Упрощаем:

$$30a-60b=69c$$

$$10(a-2b)=23c$$

Тогда $c$ должно делиться на 10. Но $c$ - цифра, $0\leqslant c\leqslant 9$.

Значит, $c$ может принимать только значение 0. Если так, то

$$a-2b=0$$

$$a=2b$$

Если $a=2, b=1$, условие выполнено.

Решаем б).

Аналогично пункту а)

$$100a+10b+c=81(a+b+c)$$

Упрощаем:

$$19a-71b=80c$$

Если $c=0$, то решений в целых числах при $0\leqslant a\leqslant 9$ нет  ($19a=71b$).

$$19a=71b+80c$$

Тогда

$$19\cdot 9\geqslant 71b+80c$$

$$71b+80c \leqslant 171$$

Понятно, что $c \leqslant 2$.

Если $c=1$, $b$ на подобрать. Если $с=2$ - тоже.

Решаем в).

$$\frac{100a+10b+c }{a+b+c}=\frac{a+b+c +99a+9b}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b+c}$$

Нам необходимо получить максимальное значение дроби. Это возможно, если минимизировать знаменатель. В знаменателе присутствует слагаемое $c$, положим его равным 0. Если $c=0$, то

$$\frac{100a+10b+c }{a+b+c}=\frac{a+b+c +99a+9b}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b}=1+\frac{9(a+b)+90a}{a+b}=10+\frac{90a}{a+b}$$

Снова ищем максимум. Хорошо бы, чтобы $b=0$, но в этом случае число $\bar{abc}$ будет делиться на 100, что противоречит условию. Тогда, чтобы минимизировать числитель, примем $b=1$.

$$10+\frac{90a}{a+b}=10+\frac{90a}{a+1}=10+\frac{90a+90-90}{a+1}=100-\frac{90}{a+1}$$

Теперь нужно добиться, чтобы из 100 вычиталось как можно меньшее число. То есть дробь $\frac{90}{a+1}$ должна быть минимальной. Этого можно добиться при максимальном значении знаменателя. То есть берем максимальное возможное значение $a$ - 9.  Тогда $a=9, b=1, c=0$.

$$100-\frac{90}{a+1}=100-\frac{90}{9+1}=91$$

Ответ: а) да;   б) нет;  в) 91, если число 910.