Учимся решать задачу 19. Часть 2

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – вторая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел. Все числа различны и не превосходят 5000. Известно, что сумма любых двух написанных чисел делится на хотя бы одно из оставшихся.

а) может ли быть написано 1024 числа?

б) может ли быть написано ровно 5 чисел?

в) Какое минимальное количество чисел может быть написано?

Решаем а). Пусть есть число $a=1$. Например, $2045+1 \vdots  2$. Тогда 1024 числа могут быть написаны, к примеру 1, 2, 3, 4… 2045. Тогда сумма любых двух нечетных делится на 2, сумма любых двух делится на 1, а сумма 1+2 делится на 3.

Решаем б). Если  взять числа $a, 2a, 3a, 4a, 5a$, то условие будет выполняться. Тогда

$$5a=2045$$

$$a=409$$

Наш пример тогда 409, 818, 1227, 1636, 2045.

Решаем в) Пусть написано три числа $a, b, c$. Будем считать $a<b<c$. Должно выполняться $a+b  \vdots  c$, $b+c \vdots  a$, $c+a \vdots  b$. Если $a+b$ делится на $c$, то должно быть $a+b \geqslant c$. Так как мы приняли $a<c, b<c$, то $a+b < 2c$, значит, $c \leqslant a+b<2c$, то есть  $a+b=c$.

Тогда $a+c=2a+b \vdots b$, значит, $2a$ делится на $b$  $2a\vdots b$, следовательно, $2a\geqslant b$, и аналогично предыдущим рассуждениям $a<b\leqslant 2a$, то есть  $b=2a$. Следовательно, $c=3a$. Тогда имеем ряд $a, 2a, 3a$. Но число 2045 не делится ни на 2, ни на 3. Тогда $a=2045$, но при этом число $c=3a$ больше 5000. То есть три числа не могут быть написаны.

Решаем в). Предположим, чисел 4. Тогда это могут быть числа $a, 2a, 3a, 5a$, $a=409$. То есть из ряда, полученного в пункте а) мы исключили число $4a$ (так как нам нужно было оставить $a, 2a$ и $3a$, чтобы $a+2a \vdots 3a$, $a+3a \vdots  2a$, $2a+3a \vdots 5a$.

Ответ: а) да, например 409, 818, 1227, 1636, 2045; б) нет; в) да, например 409, 818, 1227, 2045.

Задача 2.

Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите максимально возможное исходное число.

Пусть есть число $\overline{abcd}$

$$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$$

Новое число $\overline{dcba}$

$$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$$

По условию

$$1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=909$$

Упрощаем

$$999a+90b-90c-999d=909$$

Сократим

$$111a+10b-10c-111d=101$$

Можно записать

$$111(a-d)=10(c-b)+101$$

Видно, что это равенство выполняется, если $a-d=1$, $c-b=1$.Число $a\legslant 9$, поскольку мы ищем максимально возможное исходное, то примем $a=9$. Тогда $d=8$.

Сумма цифр исходного числа должна делиться на 9, $a+d=17$, следовательно, $b+c=1$ или $b+c=10$. Но мы помним, что разность этих двух чисел 1. Поэтому нас устроит $b=0$, $c=1$. Вариант с $b+c=10$ не дает натуральных решений.  Тогда искомое число 9018.

Ответ: 9018.

Решим ту же задачу, только найдем все варианты чисел и минимально возможное.

Задача 2a. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите все возможные исходные числа.

Аналогично предыдущей задаче

$$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$$

Новое число $\overline{dcba}$

$$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$$

По условию

$$1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=909$$

Упрощаем

$$999a+90b-90c-999d=909$$

Сократим

$$111a+10b-10c-111d=101$$

Можно записать

$$111(a-d)=10(c-b)+101$$

Видно, что это равенство выполняется, если $a-d=1$, $c-b=1$.

Также, поскольку исходное делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.

$$a+b+c+d=9n$$

$$a=d+1$$

$$c=b+1$$

$$d+1+b+b+1+d=9n$$

$$2d+2b+2=9n$$

Откуда понятно, что $n$ - четное (левая часть делится на 2, значит, и правая тоже). При $n=2$

$$d+b+1=9$$

$$d+b=8$$

Переберем варианты.

Задача 2.

Ответ: 8127, 3276, 6345, 5454, 4563, 3672, 2781 - минимальное число.