Свойства чисел - 4

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1.

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Если число кратно 22, то оно делится на 2 и на 11. Разложим число 24 на множители:

$$24=3\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$

Также можно добавить в это разложение любое число единиц. Теперь нужно расположить цифры так, чтобы полученное число удовлетворяло признаку делимости на 11 – то есть чтобы суммы цифр на четных и нечетных местах были бы равны. Получим 2134, или 1342.

Ответ: 2134, 1342.

Задача 2.

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. По условию

$$n<\frac{a^3}{3}$$

Или

$$a^3>3n$$

То есть куб числа $a$ - четырехзначное число, делящееся на три. $10^3=1000$ - то есть подойдет число, большее 10, причем оно должно делиться на три. Попробуем 12.

$$\frac{12^3}{3}=576$$

Не подходит, трехзначное. Попробуем 15.

$$\frac{15^3}{3}=1125$$

И 18 подойдет:

$$\frac{15^3}{3}=1944$$

Ответ: 1125, 1944.

Задача 3.

Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение. В нашем числе нет нулей – иначе произведение обратится в ноль. Единиц, наоборот, можно взять любое число. Если само число кратно 4, то две последние его цифры должны образовать число, кратное 4. Возьмем 2 и 4: получим 1124 – сумма цифр равна 8, произведение тоже. Также подойдет 1412.

Ответ: 1124, 1412.

Задача 4.

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение. Число должно делиться на 3 и на 8. Значит, оно должно содержать 3 единицы, и заканчиваться тремя нулями – потому что 1000 делится на 8. Это число – 111000.

Ответ: 111000