Свойства чисел - 3

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1.

Маша задумала трёхзначное число. Сумма цифр этого числа равна 7, а сумма квадратов цифр равна 27. Если из задуманного числа вычесть 396, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумала Маша?

Решение. Пусть сумма квадратов 27. Попробуем подобрать эти квадраты: 25, 1, 1. То есть сами цифры – 5,1,1. Их сумма как раз 7. Поскольку из числа, задуманного Машей, можно вычесть 396, то оно больше 396, а значит, это число 511.

Ответ: 511.

Задача 2.

 На шахматном турнире каждый из участников должен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли из турнира, сыграв только по 4 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 62. Сколько всего было участников турнира?

Решение. Если бы два участника не выбыли, то матчей состоялось бы $\frac{n(n-1)}{2}$ - каждый играет с каждым, кроме себя самого, но, поскольку в матче участвуют двое – то матчей в два раза меньше, чем $n(n-1)$.

Двое выбывших вместе могли сыграть как 8 партий – если не играли друг с другом, так и 7 – если играли. То есть без партий, сыгранных ими, остается 55 или 54 матча. Тогда

$$\frac{n(n-1)}{2}=55$$

Или

$$\frac{n(n-1)}{2}=54$$

То есть

$$n(n-1)=110$$

Или

$$n(n-1)=108$$

Произведение двух последовательных чисел не может быть равно 108. Тогда $n=11$, а в ответ запишем 13 – ведь $n$ - число участников после выбытия двоих.

Ответ: 13.

Задача 3.

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение.

$$ 20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6$$

Проанализируем все разложения:

$81+81+4$ - не делится ни на 3, ни на 9.

$81+64+9$ - не делится ни на 3, ни на 9.

$81+49+16$ - не делится ни на 3, ни на 9.

$81+36+25$ - не делится ни на 3, ни на 9.

$64+64+16$ -  делится и  на 3, и на 9.

$64+49+25$ - делится  на 3, но не делится на 9. Подходит.

$64+36+36$ -  не делится ни на 3, ни на 9.

$49+49+36$ -  не делится ни на 3, ни на 9.

Таким образом, подходят числа 578, 875, 758 и т.д.

Задача 4.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Число имеет вид $30n+1$, $30n+2$, $30n+3$, $30n+4$. Остаток должен быть меньше, чем 5. Подберем подходящие значения $n$. При $n$ от 1 до 13 полученное число меньше 400.

При $n=14$ получим 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При $n=15$ получим 451, 452, 453, 454. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр, кроме числа 453. Оно подходит.

При $n=16$ получим 481, 482, 483, 484. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При $n=17$ получим 511, 512, 513, 514. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При $n=18$ получим 541, 542, 543, 544. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При $n=19$ получим 571, 572, 573, 574. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр, кроме числа 573. Оно подходит.

Попробуем $n=23$. Получим 691, 692, 693, 694 – 693 подходит.

Ответ: 453, 573, 693.