Свойства чисел - 1

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1.

При записи номеров страниц в детской книжке было использовано 177 цифр (страницы нумеруются с первой). Сколько страниц в книжке?

Решение. Первые 9 страниц обозначены одной цифрой каждая, поэтому остается $177-9=168$. Этими оставшимися цифрами можно обозначить  84 страницы. Поэтому всего страниц $84+9=93$.

Ответ: 93 страницы.

Задача 2.

Света и Маша хотят купить куклу. У Светы есть только некоторое количество монет достоинством в 1 руб. Ей не хватает до покупки куклы 85 руб. У Маши тоже есть деньги, но ей не хватает до покупки этой куклы 2 руб. Если девочки сложат свои деньги вместе, им всё равно не хватит денег на покупку куклы. Сколько стоит кукла?

Решение: так как девочкам вместе на куклу не хватает, значит, у Светы меньше 2 рублей, то есть 1. Значит, кукла стоит 86 рублей.

Ответ: 86 рублей.

Задача 3.

 В «Детском мире» продавали двухколёсные и трёхколёсные велосипеды. Максим пересчитал все рули и все колёса. Получилось 12 рулей и 27 колёс. Сколько трёхколесных велосипедов продавали в «Детском мире»?

Решение: здесь можно просто составить систему уравнений. Пусть $m$ - число трехколесных велосипедов, у них $m$ рулей и $3m$ колес. Если $n$ - число двухколесных велосипедов, то у них $2n$ колес.

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ m+n=12}\\{ 3m+2n=27}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ m =12-n}\\{ 3(12-n)+2n=27}\end{matrix}$$

$$36-3n+2n=27$$

$$n=9$$

$$m=3$$

Ответ: 3 трехколесных велосипеда.

Задача 4.

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 8 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 9 тоже остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Решение. Плиток меньше 100 – на квадрат не хватает. Так как при укладывании по 8 остается неполный ряд, то в нем может быть 7, 6, 5 и т.д. плиток. Но это количество больше 6 – так как неполный ряд при укладывании по 9 штук на 6 меньше. То есть при укладывании по 8 остаток (неполный ряд) содержит 7 плиток. А неполный ряд при укладывании по 9 содержит 1 плитку.

Осталось найти такие двузначные числа, которые дают остаток 1 при делении на 9, и остаток 7 при делении на 8. Выпишем сначала первые: 10, 19, 28, 37, 46, 55,64, 73, 82, 91. Из них остаток 7 при делении на 8 дает число 55.

Ответ: 55 плиток.