Немного целых чисел: задачи

Предлагаю вашему вниманию несложные задачи на целые числа. Справиться с такими задачами смог бы сообразительный семиклассник, которым я иногда подкидываю "на подумать" подобные задачи. Здесь нужно иметь немного сообразительности, немного знаний из комбинаторики, немного внимательности.

Задача 1.

Чему равно количество натуральных делителей числа $17\cdot 19^3\cdot 29^2$?

Заметим, что все числа произведения – простые. То есть у самих чисел, входящих в произведение,  нет других делителей, кроме 1 и самого этого числа.  Это уменьшает количество возможных вариантов существенно. Возможные делители будут либо числами, входящими в произведение, либо их степенями, либо произведениями комбинаций таких чисел. Составим таблицу вариантов:

Задача 1

Итак, получили 23 возможных делителя. И не забудем про 1!

Ответ: 24.

Задача 2. Чему равно количество натуральных чисел, имеющих сумму цифр 115, а произведение цифр – 6?

Сразу понятно, что нули в состав такого числа войти не могут. Произведение 6 дают либо $3\cdot2$, либо $1\cdot6$.

Тогда во втором случае имеем одну 6 и $115-6=109$ единиц – а всего 110 цифр. Поскольку 6 может занять любое из 110 мест, то получаем 110 вариантов.

Если рассмотреть первый вариант, то в состав числа войдут 3, 2и $115-3-2=110$ единиц. Тогда пусть 3 займет любое из 112 мест, и двойке останется 111 вариантов: $112 \cdot 111=12432$ варианта.

Всего имеем $12432+110=12542$ числа, удовлетворяющих условию.

Ответ: 12542.

Задача 3.

Чему равно количество таких натуральных чисел $n$, что остаток от деления 355 на $n$ равен 12?

Вычтем из 355 и посмотрим, какое же число таки разделилось на $n$:

$355-12=343$. Число 343 делится на 7, на 49, на 343 и на 1. Так как остаток всегда меньше делителя, то 1 и 7 отпадают. Ответ: 49 и 343, всего 2 числа.

Ответ: 2.

Задача 4.

Вычислите все возможные значения выражения $\frac{1+2+\ldots+y}{1^2+2^2+\ldots +y^2}$, если величина $y$ является решением уравнения $y=64$?

Так как $y=64$, то имеем следующее:

$$\frac{S_{64}}{1^2+2^2+\ldots +64^2}$$

Определить сумму арифметической прогрессии, стоящей в числителе, ничего не стоит:

$$S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{ 1+64}{2}\cdot 64=65\cdot32 $$

Подождем перемножать – может быть, впоследствии удастся сократить дробь?

В знаменателе имеем ряд из квадратов натуральных чисел. Сумма такого ряда может быть выведена, если вспомнить, что любой квадрат натурального числа $n$ может быть представлен суммой всех нечетных чисел, количество которых равно $n$:

$$3^2=1+3+5$$

$$5^2=1+3+7+9+11$$

$$9^2=1+3+5+7+9+11+13+15+17$$

Не вникая в тонкости, приведу готовую формулу такого ряда:

$$\sum^{n}_{i=1} {x_i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Расчет в нашем случае дает для суммы такого ряда:

$$\sum^{64}_{i=1} {x_i}^2=\frac{64(64+1)(128+1)}{6}$$

Окончательно для искомого числа имеем:

$$\frac{1+2+\ldots+y}{1^2+2^2+\ldots +y^2}=\frac{1+2+\ldots+64 }{1^2+2^2+\ldots +64^2}=$$

$$=\frac{65\cdot32 }{\frac{64(64+1)(128+1)}{6}}=\frac{65\cdot32\cdot 6}{64\cdot 65\cdot129}=\frac{3}{129}=\frac{1}{43}$$

Ответ: $\frac{1}{43}$.

Задача 5.

 Чему равны числа, оканчивающиеся цифрами 38, такие, что после вычеркивания этих цифр исходное число уменьшается в целое число раз?

Сразу напрашивается 138 и 238 - при вычеркивании цифр 3 и 8 исходное число уменьшится в 138 и в 119 раз соответственно. Также просится число 3838 - при вычеркивании уменьшится в 101 раз. Также 38 делится на 19 - поэтому попробуем 1938 - это число уменьшится в 102 раза. На этом варианты исчерпаны)).

Ответ: 138, 238, 1938, 3838.