Две интересные задачи на стыке 17 и 19

Задачи хорошие, годятся и как  как подготовка к задаче 19 профильного ЕГЭ, и как подготовка к задачам на оптимальный выбор. Но больше это все-таки задачи на целые числа.

Задача 1.

Фирма владеет торговыми палатками трех типов. В палатки первого типа завезли по 85 банок фанты и по 119 – пепси-колы, второго типа – 20 фанты и 31 пепси-колы, третьего типа – 30 фанты и 38 пепси-колы. Всего завезли 480 банок фанты и 659 – пепси-колы. Сколько палаток каждого типа имеет фирма, если общее их число не превосходит 13?

Решение. Пусть у фирмы $a$ палаток первого типа, $b$ - второго и $c$ - третьего. Тогда общее число банок фанты равно

$$85a+20b+30c=480$$

А пепси-колы

$$119a+31b+38c=659$$

Первое из этих уравнений делится на 5. Получится:

$$17a+4b+6c=96$$

И тут мы замечаем, что $a$ - четное! Тогда, если $a=2$, то

$$34+4b+6c=96$$

$$4b+6c=62$$

$$2b+3c=31$$

Тогда возможны пары: $b=8$, $c=5$ - не удовлетворяет второму уравнению; $b=2$, $c=9$ - аналогично; $b=5$, $c=7$ - удовлетворяет второму уравнению!

Но по условию палаток – не больше 13. А у нас вышло 14. Тогда пробуем $a=4$. Если $a=4$, то

$$68+4b+6c=96$$

$$4b+6c=28$$

$$2b+3c=14$$

Тогда возможны пары: $b=4$, $c=2$ - не удовлетворяет второму уравнению; $b=1$, $c=4$ -  удовлетворяет второму уравнению! И по числу палаток подходит – всего 9 штук.

Ответ: 4 палатки первого типа, 1 – второго и 4 – третьего, всего 9 палаток.

Задача 2.

Две бригады каменщиков выложили по одинаковой стенке. Вторая бригада работала на полтора часа больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 6 часов раньше. Определить число рабочих в каждой бригаде, если производительность у них одинакова.

Решение. Пусть первая бригада состоит из $n$ человек, и работает $t$ часов. Тогда вторая бригада работает $t+1,5$ часов, и пусть состоит она из $m$ человек. Следовательно,

$$nt=m(t+1,5)=(n+5)(t-6)$$

$$nt=nt-6n+5t-30$$

$$n=\frac{5t-30}{6}$$

$$t>6$$

Если $t=12$, $n=5$, то $nt=60=m\cdot 13,5$, $m$-  не целое.

Если $t=18$, $n=10$, то $nt=180=m\cdot 19,5$, $m$-  не целое.

Если $t=24$, $n=15$, то $nt=360=m\cdot 25,5$, $m$-  не целое.

Если $t=30$, $n=20$, то $nt=600=m\cdot 31,5$, $m$-  не целое.

Если $t=36$, $n=25$, то $nt=900=m\cdot 37,5$, $m=24$-  целое.

Таким образом, $m=24$, $n=25$.

Ответ: $m=24$, $n=25$.