Задачи с фантазией - 9

Продолжаю серию статей "Задачи с фантазией". Эти задачи можно и нужно использовать как подготовку к решению задачи 16: они очень хорошо развивают "геометрическое видение". Решайте больше - и количество не замедлит перерасти в качество!

Задача 1.

Дан правильный десятиугольник $H_1H_2H_3…H_{10}$. Чему равен угол между диагоналями $H_1H_3$ и $G_2G_9$?

Рассчитаем угол между сторонами по известной формуле:

$$\alpha=\frac{(n-2)180^{\circ}}{n}=8\cdot 18^{\circ}=144^{\circ}$$

Тогда треугольник $H_1H_2H_3$ - равнобедренный, его острые углы равны $$\frac{180^{\circ}-144^{\circ}}{2}=18^{\circ}$$

Четырехугольник $H_1H_2H_9H_{10}$ - равнобедренная трапеция, сумма углов  $\angle H_2H_9H_{10}+\angle H_9H_{10}H_1=180^{\circ}$, поэтому угол $\angle H_2H_9H_{10}=36^{\circ}=\angle H_1H_2H_9$.

Теперь рассмотрим треугольник $H_1H_2L$. Два угла в нем известны, найдем внешний $\angle H_1LH_9$, он и будет искомым углом:

$$\angle H_1LH_9=36^{\circ}+18^{\circ}=54^{\circ}$$

Ответ: $54^{\circ}$.

 

Задача 2.

Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны 3 и 8. Чему равно наибольшее из расстояний от концов этого же диаметра до перпендикулярной касательной?

Пусть диаметр окружности - $NO$. Точка касания первой касательной - $Q$, перпендикулярной ей касательной - $S$. Тогда $NP=8$, $OR=3$.

Расстояние от точки до прямой – это перпендикуляр. Следовательно, раз $NP \perp PR$ и $OR \perp PR$, то $NP \parallel OR$ и $NPRO$ - трапеция, средняя линия которой $MQ$ - радиус окружности, тогда $MO=\frac{3+8}{2}=5,5$.

В задаче требуется найти длину $PT$, для этого сначала придется отыскать длину $PR$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NVO$. В нем $VO=PR$. $NO$ - диаметр окружности, а $NV=NP-OR=8-3=5$, тогда по теореме Пифагора

$$VO=PR=\sqrt{NO^2-NV^2}=\sqrt{11^2-5^2}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$$

Тогда $PQ=\frac{1}{2}PR=2\sqrt{6}$, а $PT=PQ+QT=PQ+R$:

$$PT=2\sqrt{6}+5,5=\frac{11+4\sqrt{6}}{2}$$

Ответ: $PT=\frac{11+4\sqrt{6}}{2}$.

 

Задача 3.

В окружности проведены два радиуса $VG$ и $VB$. Вторая окружность касается обоих отрезков $VG$ и $VB$, а также касается первой окружности. Чему равен радиус первой окружности, если угол $GVB$ равен $\arccos(0,9)$, а радиус второй окружности равен 1?

Найдем косинус половинного угла – угла $DVL$: с ним работать будет, очевидно, удобнее.

$$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1+0,9}{2}=\sqrt{0,95}$$

Опеределим синус половинного угла:

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-cos^2{\frac{\alpha}{2}}}=\sqrt{0,05}$$

Обозначим длину отрезка  $VD$ за $x$, тогда можно записать синус половинного угла как отношение:

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{x}$$

Откуда

$$x=\frac{1}{\sqrt{0,05}}=\sqrt{20}$$

Радиус первой, большей, окружности, равен:

$$VZ=VD+DZ=\sqrt{20}+1$$

Ответ: $R= VZ=\sqrt{20}+1$.

 

Задача 4.

На биссектрисе угла $EJF$ выбрана точка $A$, и в треугольник $EJA$ вписана окружность. Пусть $L$ и $K$ - точки касания этой окружности со сторонами $EA$ и $EJ$ соответственно. Оказалось, что $ELFJ$ - параллелограмм. Чему равна длина $LK$, если $JF=3$, $EA=5$?

Так как $JF=3$, $EA=5$, а $ELFJ$ - параллелограмм, то $EL=3$, а $JE=5$, и треугольник $JEA$ - равнобедренный. По свойству касательных $EL=KE$, и треугольник $KLE$ - равнобедренный. Также из свойств асательных вытекает, что $LA=AD=DJ=JK$. Следовательно, треугольники $JEA$ и  $KLE$ подобны. Из подобия можем записать:

$$\frac{LK}{JA}=\frac{EL}{EA}$$

$$LK=\frac{EL\cdot JA}{EA}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}$$

Ответ: $LK=\frac{12}{5}$

 

Задача 5.

В трапеции $ISTJ$ с основаниями $IS$ и $TJ$ на стороне $IJ$  лежит точка $G$ так, что $\frac{IG}{GJ}=3\frac{1}{2}$. Отрезок $GP$ параллелен основаниям трапеции, точка $P$ лежит на стороне $ST$. Чему равен $TJ$, если $IS=29$ и $GP=22$?

Достроим трапецию до треугольника: пересечем вверху продолжения ее сторон. Тогда треугольники  $QJT$ и $QGP$, и $QIS$ подобны. Так как $\frac{IG}{GJ}=3\frac{1}{2}$, то введем обозначения: $IG=7y$, $GJ=2y$, $JQ=x$, $JT=z$.

Тогда для подобных треугольников $QGP$ и $QIS$ запишем отношение сходственных сторон:

$$\frac{IS}{GP}=\frac{IQ}{GQ}=\frac{x+9y}{x+2y}$$

$$\frac{29}{22}=\frac{x+9y}{x+2y}$$

$$29(2y+x)=22(9y+x)$$

Откуда $x=20y$

Тогда для подобных треугольников $QJT$ и $QGP$:

$$\frac{JT}{GP}=\frac{JQ}{GQ}$$

$$\frac{z}{22}=\frac{x}{x+2y}$$

$$\frac{z}{22}=\frac{20y}{22y}$$

Откуда $z=JT=20$

Ответ: $JT=20$.

 

Задача 6.

 В треугольник $CEQ$ вписан ромб $GHRF$, вершины $H,R,F$ которого лежат на сторонах $GE$, $EQ$ и $GQ$ соответственно. Чему равна сторона ромба, если стороны $GE$ и $GQ$ равны 2 и 5 соответственно?

 

 

Обозначим длину стороны ромба за $x$. Треугольники $HER$ и $GEQ$ подобны (так как $HR \parallel GQ$). Тогда для сходственных сторон запишем:

$$\frac{GE}{HE}=\frac{GQ}{HR}$$

$$\frac{2}{2-x}=\frac{5}{x}$$

$$2x=10-5x$$

$$7x=10$$

$$x=\frac{10}{7}$$

Ответ: $HR=GH=\frac{10}{7}$.