Задачи с фантазией - 8

В задачах этого цикла хорошо то, что часто они могут иметь два варианта решения. Такие задачи особенно хорошо развивают геометрическое видение. Начинать решать задачи этой серии можно с любой статьи, но прежде чем подсмотреть в решение - попробуйте обязательно сначала решить сами.

Задача 1.

Сторона квадрата $LQCF$ равна 1120. На стороне $LF$ лежит точка $P$, а на продолжении стороны $LQ$ за точкой $Q$ лежит точка $D$. Чему равна длина отрезка $LD$, если $\angle LCP=\angle LDP$, а $LP=1015$?

Задача 1

Подумаем, что можно в этой задаче определить. Угол $LCF$ равен $45^{\circ}$. Тангенс угла $PCF$ тоже можно найти. Он равен

$$\operatorname{tg}{PCF}=\frac{PF}{FC}=\frac{105}{1120}=\frac{3}{32}$$

Определим тангенс угла $\angle LCP$:

$$\operatorname{tg}{LCP}=\operatorname{tg}(45^{\circ}-\angle PCF)=\frac{\operatorname{tg}{45^{\circ}}-\operatorname{tg}{PCF}}{1+\operatorname{tg}{45^{\circ}} \cdot\operatorname{tg}{PCF}}=\frac{1-\frac{3}{32}}{1+\frac{3}{32}}=\frac{29}{35}$$

Теперь можно воспользоваться равенством углов  $LСP$ и $LDP$:

$$\frac{LP}{LD}=\operatorname{tg}{LDP}=\frac{29}{35}$$

$$\frac{1015}{LD}=\frac{29}{35}$$

$$LD=1225$$

Ответ: 1225

Задача 2.

В окружности проведена хорда $BJ$ и диаметр $BW$, образующий с хордой угол $\mu$. Касательная к окружности, проходящая через точку $J$, пересекает луч $BW$ в точке $T$. Чему равна длина $JT$, если радиус окружности равен 5, а $\mu=\operatorname{arctg} \frac{2}{3}$?

Задача 2

Треугольник $QJT$ - прямоугольный, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Найдем тангенс угла $JQT$. Этот угол – центральный, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $\mu$, поэтому он равен $2\mu$, и

$$\operatorname{tg}{2\mu}=\frac{2\operatorname{tg}{\mu}}{1-\operatorname{tg}^2{\mu}}=\frac{12}{5}$$

$$\operatorname{tg}^2{\mu}}=\frac{JT}{JQ}=\frac{JT}{5}=\frac{12}{5}$$

Откуда

$$JT=12$$

Ответ: 12.

Задача 3.

Чему равен радиус окружности, вписанной в угол $\eta$ и касающейся другой окружности радиуса 9, вписанной в тот же угол, если $\cos \eta=\frac{7}{8}$?

Задача 3

Определим косинус половинного угла:

$$\cos \frac{\eta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \eta }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{8}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Тогда синус половинного угла равен:

$$\sin \frac{\eta}{2}=\frac{1}{4}$$

В этой задаче неизвестно, какая из двух окружностей имеет больший радиус, поэтому примем сначала, что окружность неизвестного радиуса – меньшая. Тогда обозначим радиус $RQ=x$. Проведем $QT \parallel UV$. Тогда угол $SQT$ равен $\frac{\eta}{2}$, и его синус равен:

$$\sin \frac{\eta}{2}=\frac{ST}{SQ}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{9-r}{9+r}=\frac{1}{4}$$

Откуда

$$36-4x=x+9$$

$$x=\frac{27}{5}$$

Теперь второй случай, если неизвестен радиус большей окружности. Тогда $x=SU$ и:

$$\sin \frac{\eta}{2}=\frac{ST}{SQ}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{R-9}{9+r}=\frac{1}{4}$$

$$4x-36=x+9$$

$$x=15$$

Ответ: 15 или $\frac{27}{5}$.

Задача 4.

Все углы шестиугольника $FULJHR$ равны $120^{\circ}$. Чему равна сумма длин отрезков $FR$ и $JH$, если $FU=1$, $UL=13$, $RH=3$, а $LJ=14$?

Задача 4

Понятно, что шестиугольник не является правильным, а благодаря равенству углов его противоположные стороны параллельны. Угол $MUF$, смежный с одним из углов шестиугольника, равен $60^{\circ}$, следовательно, в прямоугольном треугольникe $MUF$ угол $MFU$ равен $30^{\circ}$, а катет $MU$, следовательно, равен половине гипотенузы, или 0,5. Аналогично угол $NLJ$ равен $60^{\circ}$, угол $NJL$ - $30^{\circ}$, а катет $LN$ - 7. Такие же рассуждения приведут нас к тому, что катет $PR=\frac{x}{2}$, а катет $HO=\frac{y}{2}$. Можем записать:

$$MU+UL+LN=PR+RH+HO$$

$$0,5+13+7=\frac{x}{2}+3+\frac{y}{2}$$

$$17,5=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$$

$$x+y=35$$

Ответ: сумма отрезков $FR$ и $JH$ равна 35.

Задача 5.

Две окружности с центрами $U$ и $F$ касаются некоторой прямой в различных точках $B$ и $R$ соответственно, а также касаются друг друга в точке $D$. Чему равен тангенс угла $BRD$, если тангенс угла $BUR$ равен 2?

Задача 5

Рассмотрим рисунок. Треугольник $BUR$ - прямоугольный. Поэтому, зная тангенс угла $BUR$, можем записать:

$$\frac{BU}{BR}=\frac{2x}{x}$$

Теперь рассмотрим второй рисунок. $TB=TD=TR=y$, так как все эти отрезки являются отрезками касательных, проведенных к окружностям из одной точки. Поэтому $2x=2y$, и $y=x$. Следовательно, окружности имеют равные радиусы. А это значит, что треугольник $FRD$ прямоугольный и равнобедренный, угол $FRD=45^{\circ}$, угол $BRD=45^{\circ}$, и тангенс его равен 1.

Ответ: 1.