Задачи с фантазией - 29

Несколько интересных геометрических задач. Я их предлагаю своим ученикам как разминочные перед подготовкой к решению 26 задачи ОГЭ и 16 – профильного ЕГЭ.

Задача 1.  Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

$$a+b+c=72$$

И

$$\frac{a+b-c}{2}=r=6$$

Или

$$a+b-c=12$$

Вычитание уравнений даст

$$2c=60$$

$$c=30$$

Ответ: 30 м.

Задача 2.

Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

К задаче 2

Применим такой прием: сдвинем боковую сторону трапеции $CD$ на 10 влево. Получим треугольник $ABH$ с известными сторонами, площадь которого легко найти по формуле Герона:

К задаче 2

$$S_{ABH}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{AB+BH+AH}{2}=\frac{54}{2}=27$$

$$ S_{ABH}=\sqrt{27(27-20)(27-21)(27-13)}=\sqrt{3^3\cdot 7\cdot 6\cdot14}=126$$

Тогда высота этого треугольника, совпадающая с высотой трапеции, равна

$$h=\frac{2 S_{ABH}}{AH}=\frac{2\cdot126}{21}=12$$

Ответ: 12.

Задача 3.

Биссектриса угла А параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BK=KC=5$ м, $AK=8$ м.

К задаче 3

Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Поэтому можно снова воспользоваться формулой Герона, чтобы найти его площадь. А площадь этого треугольника – четверть площади параллелограмма.

$$S_{ABK}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{AB+BK+AK}{2}=\frac{18}{2}=9$$

$$ S_{ABK}=\sqrt{9(9-5)^2(9-8)}=12$$

$$S=4 S_{ABK}=48$$

Ответ: 48

Задача 4.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной около него окружности – 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Диаметр описанной окружности – длина гипотенузы данного треугольника. По условию

$$c=10$$

И

$$\frac{a+b-c}{2}=r=2$$

$$a+b-c=4$$

$$a+b=14$$

Можно догадаться, что треугольник египетский и катеты его равны 6 и 8, таким образом, ответ – 8.

Задача 5.

Около равнобедренного треугольника с основанием $AC$ и  углом при основании $75^{\circ}$ описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь $BOC$ равна 16.

К задаче 5

Площадь $BOC$ может быть записана как

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}R^2\sin BOC$$

Угол $B$ является вписанным и равен $30^{\circ}$ (из суммы углов треугольника). Тогда центральный угол  $\angle AOC=60^{\circ}$. Треугольники $AOB$ и $BOC$ равны по трем сторонам, значит,

$$\angle AOB=\angle BOC=150^{\circ}$$

Таким образом,

$$R^2=\frac{ 2S_{BOC}}{\sin BOC }=\frac{32}{0,5}=64$$

И

$$R=8$$

Ответ: 8.