Задачи с фантазией - 28

Решение.

Решение задачи 1

Площадь зеленой области равна площади четверти круга за вычетом площади сектора $ABE$ - $S_1$, площади треугольника $ABC$ - $S_2$, и площади $S_3$.

Центральный угол сектора $ABE$ равен 30 градусам. Площадь $S_1$, таким образом,

$$S_1=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi R^2}{12}$$

Треугольники $ABC$ и $BDF$ равны. Угол $B$ треугольника $ABC$ равен 60 градусам, а угол $A$ - тридцати. Поэтому $BC=\frac{R}{2}$, $AC= \frac{R\sqrt{3}}{2}$. Площадь треугольника $ABC$

$$S_2=\frac{BC\cdot AC}{2}=\frac{0,5R\cdot \frac{ R\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{8}$$

Площадь кусочка $S_3$ можно посчитать как разность $S_1-S_2$, поэтому

$$S_{zel}=\frac{\pi R^2}{4}-S_1-S_2-S_3=\frac{\pi R^2}{4}-S_1-S_2-(S_1-S_2)= \frac{\pi R^2}{4}-2S_1=\frac{\pi R^2}{4}-\frac{\pi R^2}{6}=\frac{\pi R^2}{12}=12\pi$$

Ответ: $S_{zel}=12\pi$

Решение.

К задаче 2 - пояснение

Запишем теорему косинусов для треугольника $ABC$.

$$AC^2=BC^2+AB^2-2BC\cdot AB\cdot \cos\angle ABC$$

$$11^2=7^2+a^2-14a\cos\angle ABC$$

$$\cos \angle ABC=\frac{a^2-72}{14a}=\sin \angle CBD$$

Запишем теорему косинусов для треугольника $BCD$.

$$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos\angle BCD$$

$$3^2=7^2+a^2-14a\cdot \cos\angle BCD$$

$$\cos \angle BCD=\frac{a^2+40}{14a}=\sin \angle ABC$$

Тогда

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC $$

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot a \cdot 7 \cdot \frac{a^2+40}{14a}=\frac{a^2+40}{4}$$

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot BC \cdot \sin \angle BCD $$

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot a \cdot 7 \cdot \frac{a^2-72}{14a}=\frac{a^2-72}{4}$$

Заметим, что

$$S_1+S_2+S_3=\frac{a^2}{2}$$

$$S_3=\frac{a^2}{2}-S_1-S_2=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2+40}{4}-\frac{a^2-72}{4}=-10+18=8$$

Ответ: 8

Решение.

К задаче 3 - пояснение

Площадь прямоугольника равна 6. Диаметр обеих окружностей равен 2, значит, радиус 1. Центр каждой окружности принадлежит другой: центр первой – точка $A$, второй – точка $C$. $AC=1$.

Чтобы найти площадь зеленой области, нужно из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь $S$ - часть площади окружности.

Найдем ее. Площадь треугольника $ABC$ - правильного -  равна

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

Площадь рыжего сегмента –

$$\frac{1}{6}\pi R^2- S_{ABC}$$

Тогда часть зеленой площади между точками $A, B$ и $C$ равна площади треугольника плюс площадь  двух рыжих сегментов:

$$S_{ABC_1}=\frac{2}{6}\pi R^2- 2S_{ABC}+ S_{ABC}=\frac{1}{3}\pi R^2- S_{ABC}$$

Удвоим ее, чтобы получить зеленый кусок в середине:

$$2S_{ABC_1}=\frac{2}{3}\pi R^2- 2S_{ABC}$$

Определим $S$:

$$S=\pi R^2-\frac{2}{3}\pi R^2+ 2S_{ABC}=\frac{1}{3}\pi R^2+2 S_{ABC}$$

Тогда

$$2S=\frac{2}{3}\pi R^2+ 4S_{ABC}$$

И искомая площадь

$$S_{isk}=6-2S=6-\frac{2}{3}\pi R^2- 4S_{ABC}=6-\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}$$

Ответ: $S_{isk}=6-\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}$