Задачи с фантазией - 27

К задаче 1

Площадь параллелограмма $KAMN$ равна половине площади квадрата, $S_{p}=0,5$. Если удастся узнать площадь треугольника $ACL$ - дело будет в шляпе. Рассмотрим треугольник $ACB$. В нем угол $A$ равен $45^{\circ}$, а тангенс угла $BAL$ равен $\operatorname{tg} BAL =\frac{1}{2}$. Но это значит, что $\operatorname{tg} CAL =\frac{1}{3}$, потому что

$$\operatorname{tg}(\angle CAB-\angle LAB)=\frac{\operatorname{tg}{CAB}-\operatorname{tg}{ LAB }}{1+\operatorname{tg}{CAB}\operatorname{tg}{ LAB }}$$

$$\operatorname{tg}(\angle CAB-\angle LAB)=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$

$AL \perp BL$ как стороны углов со взаимно перпендикулярными сторонами.

Тогда

$$AL^2+BL^2=0,25$$

Но $AL=2BL$ (таков тангенс угла $LAB$), тогда

$$4BL^2+BL^2=0,25$$

$$5BL^2=0,25$$

$$BL^2=0,05$$

$$BL=\frac{\sqrt{5}}{10}$$

$$AL=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Теперь перейдем к треугольнику $CAL$, определим в нем длину отрезка $CL$:

$$\frac{CL}{AL}=\frac{1}{3}$$

$$CL=\frac{1}{3}AL=\frac{\sqrt{5}}{15}$$

Таким образом, удвоенная площадь треугольника $CAL$ (ведь у нас таких треугольников два)

$$2S=CL\cdot AL= \frac{\sqrt{5}}{15} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{5}{75}=\frac{1}{15}$$

Тогда искомая площадь зеленой фигуры равна

$$S_{zel}= S_{p}-2S=0,5-\frac{1}{15}=\frac{13}{30}$$

Ответ: $S_{zel}=\frac{13}{30}$

Задача 2 - решение

Рассмотрим треугольник $OHD$. Он прямоугольный по построению, и

$$CH=CE-DG=1$$

Для этого треугольника $OD=R-4$, $OH=R-5-CH=R-6$, и теорема Пифагора запишется:

$$OD^2=OH^2+HD^2$$

$$HD^2=CD^2-CH^2=81-1=80$$

$$(R-4)^2=(R-6)^2+80$$

$$R^2-8R+16=R^2-12R+36+80$$

$$4R=100$$

$$R=25$$

Теперь для треугольника $OEB$ $OE=R-10=15$

И

$$OB^2=OE^2+EB^2$$

$$R^2=(R-10)^2+EB^2$$

$$EB^2=25^2-15^2=(25-15)(25+15)=10\cdot 40,0=400$$

$$AB=2EB=2\sqrt{400}=40$$

Ответ: $AB=40$

Площадь треугольника равна $S=\frac{R^2}{2}$, площадь сектора такая же. Тогда можно составить пропорцию: площадь круга - $\pi R^2$, площадь сектора $\frac{\pi R^2}{n}$. Тогда можно определить $n$

$$\frac{R^2}{2}=\frac{\pi R^2}{n}$$

И

$$n=2\pi$$

$$\alpha=\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$$

То есть угол равен 1 радиану.

Ответ: 1 радиан.