Задачи с фантазией - 25

Задача 1 - решение

Чтобы найти площадь зеленой области, надо из площади круга вычесть площади 4-х сегментов, таких же, как заштрихованный. Определим площадь такого сегмента как четверть круга без площади треугольника $ABC$.

Площадь сегмента:

$$S=\frac{S_{kr}}{4}-S_{ABC}=\frac{\pi R^2}{4}-\frac{R^2}{2}$$

А четырех таких сегментов:

$$4S=\pi R^2-2R^2$$

Тогда площадь зеленой области равна

$$S_{zel}=\pi R^2-4S=\pi R^2-(\pi R^2-2R^2)= 2R^2=2$$

Ответ: 2.

Задача 2 - решение

Прямая $PQ$ рассекает круги с центрами $A$ и $C$ ровно пополам. Поэтому наша задача - доказать равенство   $LDO$ и $OBK$, тогда обязательно будут равны и сектора, высекаемые радиусами $DL$, $DO$, $BO$ и $BK$, а значит, и площади сегментов (желтого у круга с центром в точке $D$ и зеленого у круга  с центром в точке $B$). Треугольники $LDO$ и $OBK$ равнобедренные. Угол $LDO$ равен углу $OBK$ как вертикальный. Таким образом, центральные углы данных треугольников тоже равны и сами треугольники равны по первому признаку. Из равенства треугольников следует равенство сегментов. Таким образом, площадь зеленой области равна площади 4 кругов, а желтой – площади 6 кругов, значит, отношение будет 2:3.

Ответ: 2:3.

Задача 3 - решение

Треугольник $ABC$ равнобедренный. Длины его сторон $AB=2$, $AC=BC=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$. Он, выходит, подчиняется теореме Пифагора, то есть он прямоугольный. То есть острые углы у него по  $45^{\circ}$,  а значит, внутри каждого заключена $\frac{1}{8}$ часть окружности радиуса 1. Угол $C$ высекает четверть малого круга, то есть в нем заключена $\frac{1}{4}$ часть его окружности. Таким образом, искомый периметр равен

$$P=2\cdot\frac{1}{8}\cdot {2\pi R}+\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=0,5\pi+0,5\pi\cdot(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $P=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$.