Задачи с фантазией - 24

Разобьем четырехугольник на два треугольника. Стороны $AB=BC$ обозначим за $a$.

К задаче 1 - решение

Запишем сумму площадей треугольников:

$$\frac{x \cdot 10}{2}+\frac{a^2}{2}=64$$

$$10x+a^2=128$$

Также можно составить теорему Пифагора для неравнобедренного треугольника:

$$AC^2=x^2+100$$

А из равнобедренного следует, что

$$AC^2=2a^2$$

Тогда

$$ x^2+100=2a^2$$

И

$$10x+\frac{x^2+100}{2}=128$$

$$x^2+100+20x-256=0$$

$$x^2+20x-156=0$$

$$D=1024$$

$$x=\frac{-20\pm 32}{2}=6$$

Ответ: $x=6$.

К задаче 2 - решение

Треугольники $ABC$ и $MAD$  равны, и равны  их углы $AMD$ и $BAC$. Но стороны $AB$ и $MA$ этих углов взаимно перпендикулярны, а значит, перпендикулярны и их стороны $MD$ и $AC$, таким образом, угол $AKD=90^{\circ}$. Обозначим угол $KAD=\alpha$ и определим из треугольника $ABC$ его тангенс. Так как $BC=\frac{1}{2}AB$, то $\operatorname {tg}{\alpha}=\frac{1}{2}$. Тогда

$$\frac{x}{a}=\frac{1}{2}$$

То есть

$$a=2x$$

Тогда $AD=x\cdot \sqrt{5}$ -  по теореме Пифагора для треугольника $ADK$, и в этом треугольнике можно определить синус и косинус $\alpha$

$$\sin {\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\cos {\alpha}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

В треугольнике $KDL$ угол $D=2\alpha$, и

$$\sin {2\alpha}=2\sin {\alpha}\cos {\alpha}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$$

Тогда по основному тригонометрическому тождеству

$$\cos {2\alpha}=\frac{3}{5}$$

Следовательно,

$$\frac{b}{x}=\operatorname {tg}{2\alpha}=\frac{4}{3}$$

$$b=\frac{4x}{3}$$

Отрезки $DL$ и $LC$ равны (так как, очевидно, равны отрезки $AL$ и $LF$), поэтому определим $c$ в треугольнике $KDL$:

$$c=\frac{b}{\sin {2\alpha}}=\frac{4x}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5x}{3}$$

Тогда отношение

$$a:b:c=2: \frac{4}{3}:\frac{5}{3}$$

Или

$$a:b:c=6:4:5$$

Ответ: $a:b:c=6:4:5$