Задачи с фантазией - 23

Углы

Так как треугольники правильные, то все углы у них по $60^{\circ}$. Тогда угол $ADB=30^{\circ}$. Треугольник $ADC$ - равнобедренный. Так как тупой его угол равен $150^{\circ}$, то острые его углы равны $15^{\circ}$. Тогда тупой угол в треугольнике $ABD$ равен $135^{\circ}$. Обозначим сторону квадрата $a$.  Для треугольника $ABD$ запишем теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin 135^{\circ}}=\frac{AB}{\sin30^{\circ}}$$

$$AB=\frac{0,5a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$$

В треугольнике $BDС$ угол $OBD=45^{\circ}$, и для него теорема синусов

$$\frac{a}{\sin 45^{\circ}}=\frac{BС}{\sin120^{\circ}}$$

$$BС=\frac{a\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Находим искомое отношение:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{a\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Противоположные стороны прямоугольника равны:

$$R=14+r$$

Тогда:

$$R+r=14+2r$$

Треугольник ABC

Но, с другой стороны, по теореме Пифагора для треугольника $ABC$

$$(R+14)^2=(R+r)^2+(r+14)^2$$

$$(r+28)^2=(14+2r)^2+(r+14)^2$$

$$r^2+56r+28^2=196+56r+4r^2+r^2+28r+196$$

$$4r^2+28r-392=0$$

$$r^2+7r-56=0$$

$$D=273$$

$$r=\frac{-7 \pm \sqrt{273}}{2}$$

$$R+r=14+2r=14-7 \pm \sqrt{273}=7+\sqrt{273}$$

Ответ: $R+r=7+\sqrt{273}$