Задачи с фантазией - 22

Радиус и больший квадрат

Во-первых, пусть сторона малого квадрата равна $b$, а большого - $a$. Тогда площадь большего равна $a^2$, а меньшего $b^2$.

Тогда согласно теореме Пифагора можно записать радиус полукруга

$$R^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$

$$a^2=\frac{4R^2}{5}$$

Теперь проведем радиус иначе:

Радиус и меньший квадрат

$$R^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+(a+b)^2$$

Откуда

$$R^2=\frac{b^2}{4}+a^2+2ab+b^2$$

$$R^2=\frac{5b^2}{4}+\frac{4R^2}{5}+2ab $$

$$\frac{5b^2}{4}+2b\cdot \frac{2R}{\sqrt{5}} - 0,2R^2$$

Решим как квадратное относительно $b$:

$$D=\frac{16R^2}{5}+4\cdot 0,2R^2\cdot \frac{5}{4}=\frac{21R^2}{5}$$

$$b=\frac{-\frac{4R}{\sqrt{5}}\pm \frac{R\sqrt{21}}{\sqrt{5}}}{2,5}$$

$$b^2=\frac{4R^2}{5}\frac{(\sqrt{21}-4)^2}{25}$$

Тогда отношение площадей будет

$$\frac{a^2}{b^2}=\frac{25}{37-8\sqrt{21}}$$

$$\frac{a^2}{b^2}=37+8\sqrt{21}$$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}=37+8\sqrt{21}$

К задаче 2 - решение

Под прямым углом  в параллелограмме пересекаются только биссектрисы. Поэтому этот параллелограмм – прямоугольник. А точнее – квадрат. В прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам. Тогда площадь квадрата равна 100, а площадь $ABO$ - 25.

Правильный рисунок будет выглядеть так:

К задаче 2 - правильный рисунок

Ответ: 25.

Обозначения

Обозначим равные отрезки $a$ и $b$. Тогда можно записать, что

$$\frac{a}{2b}=\sin 15^{\circ}$$

$$a=2b\sin 15^{\circ}$$

Теперь перейдем в треугольник $LKC$.

$$LK^2=a^2+b^2-2ab\cos{15^{\circ}}$$

$$LK^2=4b^2\sin^2 {15^{\circ}}+b^2-2\cdot 2b\sin 15^{\circ}\cdot b\cos{\alpha}=4b^2\sin^2 {15^{\circ}}+b^2-2b^2\sin {30^{\circ}}=4b^2\sin^2 {15^{\circ}}$$

$$LK=2b\sin{15^{\circ}}$$

Так как $LK=a$, то треугольник $LKC$ равнобедренный и $\alpha=15^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=15^{\circ}$.