Задачи с фантазией - 21

К задаче 1

Во-первых,

$$3\alpha+3\beta=180^{\circ}$$

$$\alpha+\beta=60^{\circ}$$

То есть острые углы тупоугольных треугольников дают в сумме $60^{\circ}$, а это означает, что внешний угол такого треугольника (а он является углом внутреннего малого треугольника $DEF$) равен $60^{\circ}$, а значит, внутренний треугольник $DEF$ тоже правильный.

Больший угол тупоугольных треугольников равен $120^{\circ}$ - как смежный с углом малого правильного. Поэтому площадь этого тупоугольного треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)\cdot \sin 120^{\circ}=\frac{a(a+b)\sqrt{3}}{4}$$

Площадь центрального правильного $DEF$ равна

$$S=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

Приравниваем:

$$\frac{a(a+b)\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

$$a(a+b)=b^2$$

Решим как квадратное:

$$b^2-ab-a^2=0$$

$$D=a^2+4a^2=5a^2$$

Корни

$$b=\frac{a \pm\sqrt{5a^2}}{2}$$

Откуда

$$\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}$$

Ответ: $\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}$

К задаче 2

Возьмем за основание треугольника $AB$. Заметим, что $AB$ - диагональ квадрата, а значит, наклонена к горизонту под углом $45^{\circ}$. Но и диагональ большого квадрата (показана рыжим) имеет такой же угол наклона к горизонту. А значит, площадь синего треугольника будет равна площади любого треугольника с основанием $AB$ и вершиной, принадлежащей рыжей прямой – так как у всех таких треугольников одна и та же высота, равная расстоянию между параллельными  $AB$ и рыжей прямой.

$AB=2$ - так как сторона малого квадрата, судя по площади, равна $\sqrt{2}$.

$BC$ будет являться общей высотой всех указанных треугольников – с основанием $AB$ и вершиной, лежащей на рыжей прямой. $BC$ перпендикулярна $AB$, так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Длина $BC$

$$BC=1,5AB=3$$

Таким образом, площадь синего треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC=3$$

Ответ: 3.