В этой статье для вас представлены 5 задач. Постарайтесь решить сами, прежде чем подглядывать в мой вариант решения. Если увидите более простое решение 5 задачи - присылайте. Задачи развивают геометрическое видение и смекалку.
Задача 1.
Определите площадь синего треугольника.
К задаче 1
Решение. Показать
Треугольники подобны (зеленый и синий). Основания треугольников относятся как 4:1. Высоты, стало быть, тоже. А сумма высот равна 4 – стороне квадрата. Тогда высота большого зеленого треугольника равна 3,2, а высота синего – 0,8. И площадь его, следовательно, равна 0,4.
Ответ: 0,4
Задача 2.
Найти расстояние $x$.
К задаче 2
Решение. Показать
К задаче 2. Решение
Построение показывает, что отрезок $BC$ равен 20 – половине основания большого треугольника. А отрезок $AB$ можно найти как разность высот большого треугольника и второго и третьего за ним по размерам. Все треугольники правильные, высота большого $20\sqrt{3}$, второго по величине - $10\sqrt{3}$, еще меньшего - $5\sqrt{3}$. Тогда $AB=5\sqrt{3}$.
$$x=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{400+75}=5\sqrt{19}$$
Ответ: $x=5\sqrt{19}$
Задача 3.
Определить розового треугольника.
К задаче 3.
Решение. Показать
Очевидно, что сторона квадрата равна стороне равностороннего синего треугольника. Но сторона синего треугольника равна стороне розового. Поэтому площадь розового определим по формуле
$$S=\frac{1}{2}ab\sin{\alpha}$$
Где $\alpha=150^{\circ}$, так как треугольники «заберут» $120^{\circ}$, а квадрат еще $90^{\circ}$ из $360^{\circ}$.
$$a=b=2$$
Ответ: $S=1$.
Задача 4.
Определите длину отрезка $AB$.
К задаче 4
Решение. Показать
К задаче 4. Решение
Треугольники $CBE$ и $CFD$ подобны. Для них
$$\frac{CE}{CD}=\frac{EB}{FD}$$
$$\frac{1}{3}=\frac{EB}{2}$$
Откуда
$$ EB=\frac{2}{3}$$
А
$$AB=\frac{1}{3}$$
Ответ: $AB=\frac{1}{3}$
Задача 5.
Определите площадь квадрата.
К задаче 5
Решение. Показать
Пусть сторона квадрата равна $a$. Треугольники $ABK$ и $BCL$ подобны по двум углам. Для них $\alpha=\angle CBL=\angle BAK$, $\beta=\angle ABK=\angle BLC$.
$$BL =\sqrt{BC^2+CL^2}=\sqrt{a^2+(0,5a)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$$
Откуда
$$ \sin \alpha=\frac{CL}{BL}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
А
$$\cos \alpha=\frac{BC}{BL}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$
Тогда в треугольнике $ABK$
$$\frac{BK}{AB}=\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$BK=\frac{a}{\sqrt{5}}$$
Тогда длина отрезка $KL$
$$KL=BL-BK=\frac{a\sqrt{5}}{2}-\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$$
В треугольнике $DKL$ угол $L$ имеет такой же синус, как и смежный с ним угол $\beta$, и такой же по модулю косинус, только отрицательный – угол тупой. Поэтому для этого треугольника теорема косинусов (я уже поменяла знак на плюс перед последним слагаемым):
$$KD^2=KL^2+LD^2+2KL\cdot LD\cdot \cos\beta$$
$$(5\sqrt{2})^2=\frac{9a^2\cdot 5}{100}+\frac{a^2}{4}+2\cdot \frac{3a\sqrt{5}}{10}\cdot \frac{a}{2}\cdot \sin\alpha$$
$$25\cdot2=0,45a^2+0,25a^2+0,3a^2$$
$$a^2=50$$
А это и есть площадь квадрата.
Ответ: 50
Простая физика