В этой статье – четыре красивейших задачи. Развивают геометрическое видение и смекалку.
Задача 1.
Сравните площади розового и желтого треугольников.
Рисунок 1
Решение. Показать
Рисунок 2
Основания треугольников я выделила оранжевым. Теперь определим высоты. Так как диагонали квадратов параллельны, то из рисунка видно, что высоты треугольников тоже равны. Таким образом, площади равны.
Задача 2.
Определить площадь четырехугольника $ACDF$.
Рисунок 3
Решение. Показать
Проведем $AD$.
Рисунок 4
Треугольник $ACD$ имеет основание $CD=7$, и высоту $AB=3$. Треугольник $AFD$ имеет основание $AF=3$, и высоту $DE=7$ .
Площадь четырехугольника равна
$$S_{ACD}+S_{AFD}=\frac{1}{2}CD\cdot AB+\frac{1}{2}AF\cdot DE=21$$
Ответ: $S_{ACDE}=21$
Задача 3.
Определить радиус большей окружности.
Рисунок 5
Решение. Показать
Очевидно, что сторона $BC$ квадрата равна стороне равностороннего треугольника. Но сторона $AE$ того же квадрата равна стороне шестиугольника. Поэтому
$$AC=2r$$
$$BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{2r}{\sqrt{2}}=r\sqrt{2}$$
$$R=AE=BC= r\sqrt{2}$$
Ответ: $R= r\sqrt{2}$.
Задача 4.
Докажите, что $S^2=S_1^2+S_2^2$.
Рисунок 6
Решение. Показать
Решение увидеть непросто.Давайте проведем окружность с центром в точке $O$.
Рисунок 7
Угол $AOB=90^{\circ}$ и является центральным. Так как угол $ACB=45^{\circ}$ и опирается на ту же дугу $AB$, то точка $C$ неминуемо принадлежит окружности. Поэтому $OA=OB=OC=R$. Теперь обозначим сторону розового треугольника $x$, а зеленого - $y$. Для прямоугольного треугольника $COH$
$$R^2=x^2+y^2$$
Что и требовалось доказать.
Простая физика