В этой статье рассмотрены задачи на свойства биссектрисы и определение ее длины. Также придется вспомнить отношения площадей треугольника и формулу, по которой можно определить длину медианы, зная длины сторон треугольника.
Прежде, чем мы начнем решать, вспомним необходимые формулы и соотношения.
Длину биссектрисы можно найти по формулам:
$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$
$$l^2=\frac{ab((a+b)^2-c^2)}{(a+b)^2}=$$
$$=\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}$$
Где $l$ - длина биссектрисы, $a$ и $b$ - длины прилегающих к делимому биссектрисой углу сторон треугольника, $m$ и $n$ - длины отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.
Длины этих отрезков относятся как
$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$
Рисунок 1
Длины отрезков $m$ и $n$ можно найти так:
$$m=\frac{ac}{a+b}$$
$$n=\frac{bc}{a+b}$$
Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношениях:
Рисунок 2
$$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$$
$$\frac{t}{s}=\frac{b+c}{a}$$
$$\frac{f}{q}=\frac{a+c}{b}$$
Задача 1.
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой биссектриса проведена, равна 12 см.
Решение
Показать
Сделаем рисунок.
Рисунок 3
По формуле отношений отрезков, на которые делится биссектриса точкой пересечения, можем записать:
$$\frac{k}{p}=\frac{a+b}{c}$$
$$\frac{3x}{2x}=\frac{a+b}{12}$$
Тогда $a+b=18$, а периметр тогда $a+b+c=30$.
Ответ: 30.
Задача 2.
Биссектрисы $BD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. $AB=14, BC=6, АС=10$. Найдите $ОD$.
Рисунок 4
Решение
Показать
Так как биссектриса делит противоположную сторону в отношении
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$$
То можно легко определить длины $AD=7$, $DC=3$. Тогда длина биссектрисы $BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC=14\cdot6-3\cdot7=63$.
Отношение
$$\frac{BO}{OD}=\frac {AB+BC }{AC}=\frac{14+6}{10}=\frac{2}{1}$$
Следовательно, точкой пересечения биссектриса будет разделена на три части, и
$$OD=\frac{1}{3}BD=\frac{\sqrt{63}}{3}=\sqrt{7}$$
Ответ: $OD=\sqrt{7}$.
Задача 3.
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL$ и $BK$. Найдите длину отрезка $KL$, если $AB = 15, AK=7,5, BL = 5$.
Рисунок 5
Решение
Показать
Запишем отношение отрезков, на которые биссектриса $AK$ делит сторону $AC$:
$$\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{KC}$$
Эту пропорцию можно переписать так:
$$\frac{AB}{ AK }=\frac{ BC }{KC}=\frac{2x}{x}$$
Тогда $AC=7,5+x$, а $LC=2x-5$.
Тогда для биссектрисы $AL$ и отрезков $BL$ и $LC$ справедливо
$$\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}$$
$$\frac{15}{7,5+x}=\frac{5}{2x-5}$$
$$30x-75=37,5+5x$$
$$x=4,5$$
Таким образом, $AC=7,5+x=12$, $LC=2x-5=4$, $BC=9$. Замечаем, что треугольник $ABC$ подчиняется теореме Пифагора, следовательно, он прямоугольный. Тогда длина $KL$
$$KL=\sqrt{KC^2+LC^2}=\sqrt{4,5^2+4^2}=\sqrt{36,25}$$
Ответ: $KL=\sqrt{36,25}$.
Задача 4.
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, а через точку $D$ - прямая, параллельная $A$ и пересекающая $AB$ в точке $Е$. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $BDE$, если $AB = 5, AC = 7$.
Рисунок 6
Решение
Показать
Рассмотрим рисунок. Треугольники $ABC$ и $BDE$ подобны. Так как биссектриса $AD$ разделит противоположную сторону в отношении
$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{5x}{7x}$$
То теперь можно определить коэффициент подобия треугольников $ABC$ и $BDE$:
$$k=\frac{BC}{BD}=\frac{12x}{5x}$$
Так как площади подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента подобия, то
$$\frac{S_{ABC}}{S_{BDE}}=k^2=\frac{144}{25}$$
Ответ: $\frac{S_{ABC}}{S_{BDE}}=\frac{144}{25}$
Задача 5.
Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.
Решение
Показать
Решите ее сами. Она аналогична задаче 1 из статьи «Задачи с фантазией-16: свойства биссектрис». Я приведу ответ: $8\sqrt{10}$, $9\sqrt{5}$.
Задача 6.
В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Рисунок 7
Решение
Показать
Так как
$$\frac{AB}{BC}=\frac{5}{4}$$
То треугольник является египетским (подобным треугольнику со сторонами 3, 4, 5), следовательно, если $AC=3x=9$, то $BC=4x=12$, $AB=5x=15$.
Площадь треугольника равна
$$S_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{9\cdot 12}{2}=54$$
Ответ: $S_{ABC}=54$ см$^2$.
Задача 7. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
Рисунок 8
Решение
Показать
По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки, длины которых относятся как прилегающие стороны, имеем:
$$\frac{BM}{MA}=\frac{BC}{AC}$$
То есть
$$BM=16$$
$$MA=4$$
Тогда длина биссектрисы равна
$$CM^2=BC\cdot AC-BM\cdotMA=100-16\cdot4=36$$
$$CM=6$$
Ответ: $CM=6$.
Задача 8.
Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны $a$ и $b$.
Рисунок 9
Решение
Показать
Длина биссектрисы равна
$$l^2=a\cdot b-m\cdot n$$
Здесь
$$m=\frac{ac}{a+b}$$
$$n=\frac{bc}{a+b}$$
Тогда
$$l^2=a\cdot b-m\cdot n=ab-\frac{ac}{a+b}\cdot\frac{bc}{a+b}=ab(1-\frac{c^2}{(a+b)^2}=ab\cdot\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2}= ab\cdot\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{(a+b)^2}= ab\cdot\frac{2ab}{(a+b)^2}= \frac{2a^2b^2}{(a+b)^2}$$
$$l=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$$
Ответ: $l=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$.
Задача 9.
Вычислите длину биссектрисы угла $\angle A$ треугольника $ABC$ с длинами сторон $a = 18$ см, $b =15$ см, $c = 12$ см.
Рисунок 10
Решение
Показать
По свойству биссектрисы делить противоположную сторону на отрезки, длины которых относятся как прилегающие стороны, имеем:
$$\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}$$
То есть
$$BL=8$$
$$LC=10$$
Тогда длина биссектрисы равна
$$AL^2=AB\cdot AC-BL\cdotLC=180-8\cdot10=100$$
$$AL=10$$
Ответ: $AL=10$.
Задача 10.
В треугольнике $ABC$ длины сторон $AB, BC$ и $AC$ относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.
Рисунок 11
Решение
Показать
Пусть $AB=2x$, $BC=4x$, $AC=5x$, тогда
$$\frac{BM}{MP}=\frac{AB+BC}{AC}=\frac{2x+4x}{5x}=\frac{6}{5}$$
$$\frac{CM}{MQ}=\frac{ AC +BC}{ AB }=\frac{5x +4x}{2x }=\frac{9}{2}$$
$$\frac{AM}{MO}=\frac{AB+ AC }{ BC }=\frac{2x+5x }{4x }=\frac{7}{4}$$
Ответ: $\frac{BM}{MP}=\frac{6}{5}$, $\frac{CM}{MQ}=\frac{9}{2}$, $\frac{AM}{MO}=\frac{7}{4}$.
Простая физика