Задачи с фантазией - 13

К задаче 13

Так как треугольники $BCN$ и $CTN$ имеют одну и ту же высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований. Тогда примем: $BN=3x$, $NT=x$. Треугольники $ABN$ и $CNT$ подобны по двум углам, коэффициент подобия $k=\frac{BN}{NT}=\frac{3}{1}$.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно,

$$S_{ABN}=k^2\cdotS_{CNT}=9\cdot 1=9$$

Сумма площадей треугольников $ABN$ и $BNC$ - не что иное, как половина площади параллелограмма:

$$S=2(S_{ABN}+ S_{BNC})=2(9+3)=24$$

Ответ: 24.

Так как задача полностью аналогична предыдущей, приведу лишь ответ: 84

Так как задача полностью аналогична предыдущей, приведу лишь ответ: 63

К задаче 16

Обозначим $BM=3x$, $MC=2x$. Тогда $BC=AD=5x$. Треугольники $BMK$ и $AKD$ подобны с коэффициентом $k=\frac{AD}{BM}=\frac{5}{3}$. Тогда $\frac{BK}{KD}=\frac{3y}{5y}$.

Разобьем четырехугольник $BMKD$ на два треугольника: $MCD$ и $MKD$. Определим площадь $MCD$. Площадь треугольника $BCD$ равна половине площади параллелограмма, то есть 0,5.  У треугольников $BMD$ и $MCD$ равные высоты, посему их площади относятся как основания, следовательно, площадь $S_{BMD}=0,3$, а $S_{MCD}=0,2$. Аналогично, треугольники $BMK$ и $KMD$ имеют одну высоту, поэтому их площади относятся так же, как их основания. Следовательно,

$$\frac{ S_{BKM}}{ S_{KMD}}=\frac{3}{5}$$

Тогда $S_{BKM}=\frac{3}{8} S_{BMD}=\frac{9}{80}$, $S_{KMD}=\frac{5}{8} S_{BMD}=\frac{3}{16}$.

Следовательно,

$$S_{BMKD}=S_{ MCD}+S_{ MKD}=\frac{3}{16}+0,2=\frac{31}{80}$$

Ответ: $ S_{BMKD}=\frac{31}{80}$.

К задаче 17

Задача похожа на предыдущую, поэтому приведу рисунок и ответ: $S_{BCPM}=\frac{11}{30}$.

К задаче 18

Обозначим искомую площадь буквой $k$. Также введем обозначения равных площадей $x$ и $y$. Рассмотрим треугольник $ABT$. Треугольники $KBG$ и $ABT$ подобны с коэффициентом 2 (по двум углам). Тогда площадь треугольника $KBG$, обозначенная $x$, в 4 раза меньше площади треугольника $ABT$. То есть $y=3x$. Следовательно, площадь треугольника $ABN$, равная четверти площади всего квадрата, равна $5x$. Следовательно, площадь квадрата – $20x$.  Треугольники $ABN$ и $LCD$ по сумме площадей равны половине квадрата. Также площадь четырехугольника $BLDN$ также равна половине площади квадрата. Тогда искомая площадь равна

$$S_{BLDN}-6x=10x-6x=4x$$

Это составляет $\frac{1}{5}S$.

Ответ: $\frac{1}{5}S$.

К задаче 19

Задача копирует задачу 16, поэтому привожу рисунок и ответ: $S=\frac{5}{12}$.