Эта статья содержит задачи на подобие и вычисление площадей. Очень хороши для прокачивания «математического видения», которое позволяет легко решать геометрические задачи. Прорешав эти задачи, вы будете «сечь» подобные треугольники с первого взгляда!
Задача 7.
На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка так, что BM:MC=1:3, K - точка пересечения прямых AM и BD. Площадь треугольника BMK равна 1. Вычислите площадь параллелограмма ABCD.
Решение. Показать
К задаче 7
Рассмотрим треугольники $BMK$ и $AKD$. Они подобны. Так как $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{3}$, то пусть $BM=x$, $MC=3x$. Тогда $AD=BC=4x$. Следовательно, коэффициент подобия указанных треугольников равен
$$k=\frac{AD}{BM}=4$$
Таким образом, и высоты указанных треугольников будут относиться как $4:1$, то есть
$$\frac{h_{AKD}}{h_{BMK}}=\frac{4}{1}=\frac{4y}{y}$$
Высота параллелограмма равна
$$ h_{AKD}+ h_{BMK}=H=5y$$
Тогда
$$S_{BMK}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot y=\frac{xy}{2}=1$$
Или
$$xy=2$$
Площадь параллелограмма равна
$$S=4x\cdot 5y=20 xy=40$$
Ответ: 40.
Задача 8.
На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка так, что BM:MC=2:3, K - точка пересечения прямых AM и BD. Площадь треугольника BMK равна 1. Вычислите площадь параллелограмма ABCD.
Эта задача – полный аналог предыдущей с другими цифрами. Учителя могут предложить их первым и вторым вариантам.
Решение. Показать
К задаче 8
Рассмотрим треугольники $BMK$ и $AKD$. Они подобны. Так как $\frac{BM}{MC}=\frac{2}{3}$, то пусть $BM=2x$, $MC=3x$. Тогда $AD=BC=5x$. Следовательно, коэффициент подобия указанных треугольников равен
$$k=\frac{AD}{BM}=2,5$$
Таким образом, и высоты указанных треугольников будут относиться как $5:2$, то есть
$$\frac{h_{AKD}}{h_{BMK}}=\frac{5}{2}=\frac{5y}{2y}$$
Высота параллелограмма равна
$$ h_{AKD}+ h_{BMK}=H=7y$$
Тогда
$$S_{BMK}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot y=xy=1$$
Площадь параллелограмма равна
$$S=5x\cdot 7y=35 xy=35$$
Ответ: 35.
Задача 9.
На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка так, что BM:MC=1:4, K - точка пересечения прямых AM и BD. Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Вычислите площадь треугольника AKD.
Решение. Показать
К задаче 9
Задача обратна предыдущей.
Рассмотрим треугольники $BMK$ и $AKD$, они подобны с коэффициентом $k=5$. (Так как $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{4}$, то пусть $BM=x$, $MC=4x$. Тогда $AD=BC=5x$. Следовательно, коэффициент подобия указанных треугольников равен $k=\frac{AD}{BM}=5$).
Таким образом, и высоты указанных треугольников будут относиться как $5:1$, то есть
$$\frac{h_{AKD}}{h_{BMK}}=\frac{5}{1}=\frac{5y}{y}$$
Высота параллелограмма равна
$$ h_{AKD}+ h_{BMK}=H=6y$$
Площадь параллелограмма равна
$$S=5x\cdot 6y=30 xy=60$$
$$xy=2$$
Тогда
$$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot 5x\cdot 5y=12,5xy=25$$
Ответ: 25.
Задача 10.
На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка так, что BM:MC=1:3, K - точка пересечения прямых AM и BD. Площадь параллелограмма ABCD равна 40. Вычислите площадь треугольника ABK.
Решение. Показать
К задаче 10
Рассмотрим треугольники $BMK$ и $AKD$, они подобны с коэффициентом $k=4$. (Так как $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{3}$, то пусть $BM=x$, $MC=3x$. Тогда $AD=BC=4x$. Следовательно, коэффициент подобия указанных треугольников равен $k=\frac{AD}{BM}=4$).
Таким образом, и высоты указанных треугольников будут относиться как $4:1$, то есть
$$\frac{h_{AKD}}{h_{BMK}}=\frac{4}{1}=\frac{4y}{y}$$
Высота параллелограмма равна
$$ h_{AKD}+ h_{BMK}=H=5y$$
Площадь параллелограмма равна
$$S=4x\cdot 5y=20 xy=40$$
$$xy=2$$
Тогда
$$S_{AKD}=S_{ABM}-S_{BMK}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 5y-\frac{1}{2}\cdot x\cdot y=2xy=4$$
Ответ: 4.
Задача 11.
Из вершины B параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону CD в точке T и диагональ AC в точке N. Площадь треугольника BCN равна 5, а площадь треугольника CTN равна 2. Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Показать
К задаче 11
Так как треугольники $BCN$ и $CTN$ имеют одну и ту же высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований. Тогда примем: $BN=5x$, $NT=2x$. Треугольники $ABN$ и $CNT$ подобны по двум углам, коэффициент подобия $k=\frac{BN}{NT}=\frac{5}{2}$.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно,
$$S_{ABN}=k^2\cdotS_{CNT}=6,25\cdot 2=12,5$$
Сумма площадей треугольников $ABN$ и $BNC$ - не что иное, как половина площади параллелограмма:
$$S=2(S_{ABN}+ S_{BNC})=2(12,5+5)=35$$
Ответ: 35.
Задача 12.
Из вершины A параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону BC в точке P и диагональ BD в точке M. Найдите площадь треугольника BMP, если известно, что площадь треугольника ABM равна 14, а площадь параллелограмма ABCD равна 84.
Решение. Показать
К задаче 12
Если площадь всего параллелограмма 84, то площадь половины параллелограмма равна 42. То есть $S_{ABD}=42$. Тогда площадь треугольника $AMD$ равна
$$S_{AMD}=42-14=28$$
Следовательно, так как у треугольников $ABM$ и $AMD$ одна и та же высота, то их основания относятся так же, как их площади, то есть $1:2$:
$$\frac{BM}{MD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{k}$$
Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMP$, они подобны с коэффициентом $k=2$. Тогда площади их относятся как квадрат коэффициента подобия, и площадь $BMP$ меньше в 4 раза:
$$S_{BMP}=\frac{S_{AMD}}{4}=7$$
Ответ: 7.
Простая физика