Эта статья содержит задачи на подобие и вычисление площадей. Очень хороши для прокачивания «математического видения», которое позволяет легко решать геометрические задачи. Прорешав эти задачи, вы будете «сечь» подобные треугольники с первого взгляда!
Задача 1.
В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е, где расстояние АЕ составляет треть длины АС, а на стороне AD взята точка F, где расстояние AF составляет четверть длины AD. Найти площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника ABGE, где G-точка пересечения прямой FE со стороной ВС, равна 8.
Решение. Показать
К задаче 1
Рассмотрим треугольники $AFE$ и $GCE$. Они подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен
$$k=\frac{CE}{AE}=\frac{2x}{x}=2$$
Тогда
$$\frac{GC}{AF}=2$$
И, если $AF=y$, то
$$ GC=2y$$
Тогда, так как $AD=BC=4y$, то $BG=GC=2y$.
Высоты треугольников $AFE$ и $GCE$ также относятся как 2:1, поэтому высота треугольника $GCE$ равна $\frac{2}{3}h$, а высота треугольника $AFE$ равна $\frac{2}{3}h$, где $h$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S=AD\cdot h=4hy$, площадь треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма, или $S_{ABC}=2hy$, площадь треугольника и $GCE$ равна $S_{GCE}=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{2}{3}h=\frac{2}{3}hy $. Тогда площадь четырехугольника $ABGE$ равна:
$$S_{ABGE}= S_{ABC}- S_{GCE}=2hy-\frac{2}{3}hy=\frac{4}{3}hy=8$$
Откуда
$$S=4hy=24$$
Ответ: 24.
Задача 2.
В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е, что АЕ:ЕС=1:3, а на стороне AD взята такая точка F, что AF:FD=1:2. Найти площадь четырехугольника ABGE, где G-точка пересечения прямой FE со стороной ВС, если известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24.
Решение. Показать
К задаче 2
Треугольники $GCE$ и $AFE$ подобны по двум углам, причем коэффициент подобия равен
$$k=\frac{CE}{AE}=3$$
Поэтому
$$\frac{GC}{AF}=3$$
И, следовательно,
$$GC=3y=AD=BC$$
То есть точка $G$ совпадает с точкой $B$, и четырехугольник ABGE вырождается в треугольник $ABE$.
Высоты треугольников $AFE$ и $BCE$ также относятся как 3:1, поэтому высота треугольника $BCE$ равна $\frac{3}{4}h$, а высота треугольника $AFE$ равна $\frac{1}{4}h$, где $h$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S=AD\cdot h=3hy$, площадь треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма, или $S_{ABC}=1,5hy$, площадь треугольника и $BCE$ равна $S_{BCE}=\frac{1}{2}\cdot 3y\cdot \frac{3}{4}h=\frac{9}{8}hy $. Тогда площадь треугольника $ABE$ равна:
$$S_{ABE}= S_{ABC}- S_{BCE}=1,5hy-\frac{9}{8}hy=\frac{3}{8}hy$$
Так как $S=AD\cdot h=3hy=24$, то $hy=8$, тогда искомая площадь равна
$$S_{ABE}= \frac{3}{8}\cdot8=3$$
Ответ: 3.
Задача 3.
На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К, М и L таким образом, что АК:КВ=2:1, BM:MC=1:1, AL:LD=1:3. Найти отношение площадей треугольников KBL и BML.
Решение. Показать
К задаче 3
Пусть $h_1$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию $BC$, а $h_2$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию $AB$.Тогда площадь параллелограмма, с одной стороны, можно записать как $S=AD\cdot h_1=4yh_1$, а с другой как $S=ВС\cdot h_2=3xh_2$.
Тогда площадь треугольника $BML$ равна
$$S_{BML}=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot h_1=\frac{1}{4}S$$
Высота треугольника $KBL$ относится к высоте параллелограмма как $1:4$, то есть его площадь равна
$$S_{KBL}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{h_2}{4}=\frac{1}{24}S$$
Следовательно,
$$\frac{ S_{KBL}}{ S_{BML}}=\frac{\frac{1}{24}S }{\frac{1}{4}S }=\frac{1}{6}$$
Ответ: 1:6.
Задача 4.
На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К и М так, что DК:КА=2:1, а DM:MC=1:1. Найти отношение площади треугольника DKM к площади четырехугольника BCDK.
Решение. Показать
К задаче 4
Пусть $h_1$ - высота параллелограмма, проведенная к основанию $BC$.Тогда площадь параллелограмма можно записать как $S=AD\cdot h_1=3xh_1$.
Тогда
$$S_{BCDK}=S-S_{AKB}=3xh_1-\frac{1}{2}x\cdot h_1=2,5 x\cdot h_1=\frac{5}{6}S$$
Высота треугольника $DKM$ равна $\frac{1}{2}h_1$ (так как точка $M$ - середина $CD$, треугольники $NCM$ и $DMS$ равны, следовательно, $NM=MS$, а $NS$ - высота параллелограмма, тогда $MS=\frac{1}{2}h_1$), поэтому
$$S_{DKM}=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \frac{1}{2}h_1=0,5 x\cdot h_1=\frac{1}{6}S$$
Тогда отношение площадей равно
$$\frac{ S_{DKM}}{ S_{BCDK}}=\frac{1}{5}$$
Ответ: 1:5.
Задача 5. В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, М - точка пересечения прямых AF и DE, причем АЕ=2ВЕ, a BF=3СF. Найдите численное значение отношения AM:MF.
Решение. Показать
К задаче 5
Продлим до пересечения прямые $CB$ и $DE$. Пусть точка $O$ - место их пересечения. Тогда треугольник $OBE$ подобен треугольнику $AED$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
$$k=\frac{BE}{AE}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$
Следовательно, если длину $BO$ обозначить как $2y$, то $AD=4y$. Тогда по условию задачи $BF=3y$, а $FC=y$. Длина отрезка $OF=5y$. Треугольники $OFM$ и $AMD$ подобны с коэффициентом подобия
$$k_1=\frac{AD}{OF}=\frac{4y}{5y}=\frac{4}{5}$$
И искомое отношение
$$\frac{AM}{MF}=k_1=\frac{4}{5}$$
Ответ: 4:5.
Задача 6.
В параллелограмме ABCD точки Р и Q лежат соответственно на сторонах ВС и CD, М - точка пересечения прямых АР и BQ, причем AM=3МР, a MQ=2ВМ. Найдите численное значение отношения ВР:PC.
Решение. Показать
К задаче 6
Продлим прямые $AP$ и $DC$ до пересечения в точке $K$. Тогда треугольник $ABM$ подобен треугольнику $MKQ$ с коэффициентом подобия 2:
$$k=\frac{MQ}{BM}=2$$
Тогда, если $AM=3x$, то $MK=6x$, а $PK=5x$.
Треугольники $ABP$ и $PKC$ подобны, коэффициент подобия
$$k_1=\frac{AP}{PK}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$$
Искомое отношение равно
$$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{5}$$
Ответ: 4:5.
Простая физика