Задачи из группы Math-Досуг: углы и расстояния

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Гипотенуза большого треугольника равна 13, она разделена на два куска по 6,5 (так как $O$ - центр окружности, $AC$ - диаметр). Составляем соотношение сходственных сторон, так как треугольники $ABC$ и $ODC$ подобны:

$$\frac{OC}{BC}=\frac{OD}{AB}$$

$$\frac{6,5}{12}=\frac{OD}{5}$$

$$OD=\frac{65}{24}$$

Ответ: $OD=\frac{65}{24}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Определяем ее высоту: основания 2 и 3, боковая сторона 5, высота по теореме Пифагора

$$h_0^2=5^2-(3-2)^2=24$$

$$h_0=2\sqrt{6}$$

Дополнительные построения

Треугольники $ABF$ и $DCF$ подобны.

$$\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{DC}=\frac{FA}{FD}$$

$$\frac{FB}{FB+5}=\frac{2}{3}=\frac{FA}{FA+2\sqrt{6}}$$

$$3FB=2FB+10$$

$$FB=10$$

Искомое:

$$h=2R+r+FB=2\cdot 3+2+10=18$$

Ответ: 18.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Пусть сторона квадрата $a$, а желтый отрезок - $b$. Отрезок $AB=BC=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Высота треугольника $ABC$, проведенная из прямого угла, равна $\frac{a}{2}$.

Дополнительные построения и рассуждения

Треугольники $AML$ и $BLH$ подобны:

$$\frac{a-b}{\frac{a}{2}}=\frac{b}{\frac{a}{2}-b}$$

$$\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{2}-ab-\frac{ab}{2}+b^2$$

$$2ab=\frac{a^2}{2}+b^2$$

Решаем как квадратное относительно $b$:

$$b=a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$$

Или

$$a-b=\frac{\sqrt{2}}{2}a$$

Оказывается, $ABM$ равнобедренный! А так как угол $MAB=135^{\circ}$, то на оставшиеся два приходится $45^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=45^{\circ}+22,5^{\circ}=67,5^{\circ}$.