Задачи из группы Math-Досуг, длины, площади и углы

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Для треугольника $ABD$:

$$BD^2=x^2+AD^2$$

Для треугольника $BCD$:

$$CD^2=BD^2-6^2$$

Для треугольника $CED$:

$$CD^2=ED^2-16=AD^2-16$$

Приравниваем обе правых части двух последних выражений:

$$ BD^2-6^2= AD^2-16$$

$$ x^2+AD^2-6^2= AD^2-16$$

$$ x^2-6^2= -16$$

$$x^2=20$$

$$x=\sqrt{20}$$

Ответ: $x=2\sqrt{5}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Треугольники $m, n$ и $k$ подобны. $m$ и $n$ с коэффициентом $2:3$, $n$ и $k$ с коэффициентом $3:4$. Но тангенсы углов этих треугольников одинаковы:

$$\frac{z}{4}=\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$$

Несколько дополнительных обозначений

Или

$$1,5z=2x=3y$$

Также

$$x+y=4-z$$

$$\frac{3}{4}z+\frac{1}{2}z=4-z$$

$$2,25z=4$$

$$z=\frac{16}{9}$$

$$y=\frac{8}{9}$$

$$x=\frac{4}{3}$$

Полная площадь равна 29, посчитаем зеленую площадь:

$$S_{zel}=\frac{1}{2}\cdot 2y+ 3y+\frac{1}{2}\cdot 3x+\frac{1}{2}\cdot 4z=4y+1,5x+2z=\frac{32}{9}+2+\frac{32}{9}=9\frac{1}{9}$$

$$S_{zhelt}=29-9\frac{1}{9}=19\frac{8}{9}$$

Отношение

$$\frac{ S_{zel}}{ S_{zhelt}}=\frac{82}{9}\cdot \frac{9}{179}=\frac{82}{179}$$

Ответ: $\frac{ S_{zel}}{ S_{zhelt}}=\frac{82}{179}$

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Если дополнить круг до полного, то хорда, часть которой равна 2, окажется равна 4.

Достроим до полного круга

По теореме о секущей и касательной найдем отрезок $BF$:

$$BF^2=BO\cdot BE$$

$$BF^2=1\cdot 5$$

$$BF=\sqrt{5}$$

Но, кстати, $BF=R$ - радиус окружности!

Треугольники $ABN$ и $AMF$ подобны, для них соотношение сходственных сторон

$$\frac{BN}{FM}=\frac{AN}{AF}$$

$$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{AN}{AF}$$

Теорема Пифагора для $ABN$:

$$AB^2=BN^2+NA^2$$      

$$(AF+\sqrt{5})^2=3^2+\left(\frac{3}{\sqrt{5}}AF\right)^2$$

Получаем:

$$AF^2+2\sqrt{5}AF+5=9+\frac{9}{5}AF^2$$

$$0,8 AF^2-2\sqrt{5}AF+4=0$$

$$AF=2\sqrt{5}$$

Тогда $AN=6$ и искомый тангенс $\operatorname{tg}\alpha=\frac{BN}{AN}=\frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5