Задача о трапеции

В трапеции углы при основании равны 19º и 71º, а линии, соединяющие середины противолежащих сторон равны 10 и 12. Найти основания трапеции.

Дано

Рассмотрим рисунок:

Линии, соединяющие середины сторон, обозначены красным. Ясно, что одна из них - средняя линия трапеции и равна полусумме оснований. Кроме того, сразу обращает на себя внимание то обстоятельство, что сумма углов при основании трапеции равна 90º. Таким образом, эта трапеция может быть достроена до прямоугольного треугольника с вершиной в точке О, что в этой задаче очень важно. Изменим немного рисунок так, чтобы треугольник BOC было видно лучше:

Ход решения

Дело в том, что около прямоугольного треугольника может быть описана окружность, при этом ее центр будет находиться в точке М - середине стороны AD. Треугольники AOD, KOL, BOC - подобны. Поэтому линия МО будет проходить через середины отрезков AD, KL, BC.  Отрезок МО - радиус описанной окружности и равен половине нижнего основания. Обозначим длины оснований: нижнего - b, верхнего - a.

Нам неизвестно, какой длины средняя линия - 10 или 12, мы можем только предполагать это. Пусть она равна 12: KL=12. Тогда:

Второй известный нам отрезок - MS. Тогда его длина - 10. Отрезок МО состоит из отрезка MS и половины верхнего основания - a/2, и представляет собой радиус описанной окружности, который равен для треугольника AOD  b/2.

Таким образом, получили систему уравнений:

Решение этой системы:

Задача не имеет решений, если принять длину средней линии 10.