Задача о нахождении сторон треугольника по некоторым его параметрам

Интересная задача, в которой нужно не только помнить формулы геометрии, но и уметь решать задачи в целых числах. Задача. Известно, что площадь треугольника равна $S=\sqrt{3}$, радиус вписанной в него окружности равен $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$, а радиус описанной окружности - $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Определите стороны треугольника. Решение. Известна формула для площади треугольника: $$S=\frac{abc}{4R}$$ Значит, $$abc=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 4=8$$ Также всем знакома формула $$S=pr$$ Следовательно, $$a+b+c=2\frac{S}{r}=3\cdot 2=6$$

Имеем систему: $$\begin{Bmatrix*}[r]{abc=8} \\ {a+b+c=6}\end{Bmatrix*}$$

 Тогда видно, что $a=2, b=2, c=2$, их сумма, действительно, 6, а произведение – 8. При этом треугольник правильный, совпадают площадь, а также и радиусы вписанной и описанной окружностей.

Ответ: $a=2, b=2, c=2$.