Задача 17 из резерва 2025 (с ромбом)

Задача 17 из резерва с ромбом.

Дан ромб $ABCD$. Из вершины $A$ проведен отрезок $AK$ к середине стороны $BC$, и второй, $AL$, к середине $CD$. Также проведена диагональ $BD$, которая пересекается с $AK$ в точке $Q$, а с $AL$ пересекается в точке $P$.

А) докажите, что сумма площадей треугольников $BQK$ и $DPL$ равна площади треугольника $AQP$.

Б) Пятиугольник $QKCLP$ оказался описанным. Найдите радиус вписанной в пятиугольник $QKCLP$ окружности, если сторона ромба равна $12\sqrt{5}$.

Рисунок к задаче

Решение. Треугольник $BKQ$ подобен треугольнику $AQD$ с коэффициентом $k=0,5$, поэтому $\frac{BQ}{QD}=\frac{1}{2}$, значит, $\frac{BQ}{BD}=\frac{1}{3}$.

Треугольник $DPL$ подобен треугольнику $ABP$ с коэффициентом $k=0,5$, поэтому $\frac{PD}{BP}=\frac{1}{2}$, значит, $\frac{PD}{BD}=\frac{1}{3}$.

Таким образом, точки $Q$ и $P$ делят отрезок $BD$ на три равные части: $BQ=QP=PD$.

Треугольники $ABD$ и $BCD$ равны, это две половинки ромба, равны и их высоты. Высоты треугольников $BKQ$ и $DPL$ вдвое меньше, так как $KL$ - средняя линия $BCD$. Таким образом,

$$S_{AQP}=\frac{1}{2}QP\cdot H$$

$$S_{BKQ}=S_{DPL}=\frac{1}{2}QP\cdot \frac{H}{2}$$

$$S_{BKQ}+S_{DPL}= QP\cdot \frac{H}{2}= S_{AQP}$$

Доказано. Кстати, найдем сразу, какую долю площади ромба составляет площадь $BKQ$. Так как его основание – треть основания $BCD$, а высота – половина, то $S_{BKQ}=\frac{1}{6}S_{BCD}$, или $\frac{1}{12}$ площади ромба.

Для решения пункта б) воспользуемся формулой $S=pr$. Кроме того, заметим, что окружность, вписанная в пятиугольник $QKCLP$, является также вписанной в треугольник $BCD$. Вот для него и применим эту формулу, тем более две его стороны мы знаем, осталось найти третью – диагональ $BD$. К ней сразу не подойдешь, сначала рассмотрим треугольники $ABD$ и $AQP$.

Пусть сторона ромба $a$, отрезки $AK=AL=3x$, а отрезки $BQ=QP=PD=y$. Тогда $H$ - высота $ABD$ - равна

$$H^2=a^2-(1,5y)^2$$

С другой стороны, $H$ - высота треугольника $AQP$, равна

$$H^2=(2x)^2-(0,5y)^2$$

Тогда

$$ a^2-(1,5y)^2=(2x)^2-(0,5y)^2$$

$$a^2-2,25y^2+0,25y^2=4x^2$$

$$a^2-2y^2=4x^2$$

Это первая связь между $x$, $a$ и $y$.

Теперь вспомним, что окружность является вписанной для двух объектов: для треугольника $BCD$ и пятиугольника $QKCLP$. Для обоих объектов применима формула $S=pr$. Пусть $S$ - площадь ромба. Тогда $S_{BCD}=\frac{1}{2}S$,

$$S_{ QKCLP}=S_{BCD}-2S_{BKQ}=\frac{1}{2}S-2\cdot \frac{1}{12}S=S\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{3}S$$

Периметр $BCD$ равен

$$P_{BCD}=2a+3y$$

Полупериметр

$$p_{BCD}=a+1,5y$$

Периметр $ QKCLP $ равен

$$P_{ QKCLP }=2\cdot \frac{a}{2}+2x+y$$

Полупериметр

$$p_{ QKCLP }=0,5a+x+0,5y$$

Тогда

$$r=\frac{ S_{BCD}}{ p_{BCD}}=\frac{ S_{ QKCLP}}{ p_{ QKCLP }}$$

$$\frac{0,5S}{ a+1,5y }=\frac{\frac{S}{3}}{0,5a+x+0,5y }$$

Откуда

$$2a+3y=1,5a+3x+1,5y$$

$$0,5a+1,5y=3x$$

Это вторая связь между $x$, $a$ и $y$.

$$2x=\frac{a}{3}+y$$

Подставим это в первую связь:

$$a^2-2y^2=4x^2$$

$$a^2-2y^2=\left(\frac{a}{3}+y \right)^2$$

$$a^2-2y^2=\frac{a^2}{9}+\frac{2ay}{3}+y^2$$

Или

$$3y^2+\frac{2ay}{3}-\frac{8a^2}{9}=0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$, решим его, подставив $a=12\sqrt{5}$:

$$3y^2+8\sqrt{5}y-640=0$$

$$D_1=80+1920=2000=20\sqrt{5}$$

Корень

$$y=\frac{-4\sqrt{5}+20\sqrt{5}}{3}=\frac{16\sqrt{5}}{3}$$

Диагональ $BD=3y=16\sqrt{5}$. Вторая диагональ:

$$2H=2\sqrt{ a^2-(1,5y)^2}=2\sqrt{144\cdot 5-2,25\cdot \frac{256\cdot 5}{9}}$$

$$2H=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{144-\frac{576}{9}}=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{720}{9}}$$

$$2H=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{80}=40$$

Найдем площадь ромба:

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2=0,5\cdot 16\sqrt{5}\cdot 40=320\sqrt{5}$$

И, наконец, искомый радиус:

$$r=\frac{ S_{BCD}}{ p_{BCD}}=\frac{0,5S}{a+1,5y}=\frac{160\sqrt{5}}{12\sqrt{5}+8\sqrt{5}}=8$$

Ответ: 8