Важность умения делать дополнительные построения при решении геометрических задач

Задача 1.

На рисунке представлен треугольник $ABC$. В нем $AB=FC$, $\angle C=20^{\circ}, \angle A=80^{\circ}$. Необходимо определить угол $\angle AFB$.

Рисунок к задаче 1

Решение. Заметим, что треугольник $ABC$ - равнобедренный. Угол $\angle B=80^{\circ}$. И все… И дальше никак, если не придумать дополнительное построение. Две равные стороны наталкивают на построение треугольника. Построим правильный треугольник, как показано на рисунке.

Дополнительное построение: правильный треугольник

В треугольнике $BCD$ (если достроить ему сторону $BD$) угол $\angle BCD=80^{\circ}$. Этот треугольник равен треугольнику $ABC$ по первому признаку: $\angle BCD=\angle ABC$, $AB=CD$ (по построению) и $BC$ - общая сторона. Значит, угол $CBD=20^{\circ}$.

Пары равных треугольников

Оказывается, треугольники $BFD$ и $BFC$ тоже равны: по трем сторонам. Значит, угол $\angle DBF=\angle CBF$, и, так как угол $\angle CBD=20^{\circ}$, то

$$\angle DBF=\angle CBF=10^{\circ}$$

Таким образом угол $AFB$, внешний для треугольника $BFC$, равен сумме его внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle BCF+\angle CBF=20^{\circ}+10^{\circ}=30^{\circ}$$

Ответ: $30^{\circ}$.

Задача 2.

Задача из группы «Math-Досуг», картинка их же.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть сторона большого квадрата $a$ (сторона меньшего, как явствует из величины его площади, равна трем). Тогда диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, но, с другой стороны, равный этой диагонали отрезок может быть записан как

$$\sqrt{(a+3)^2+3^2}=\sqrt{a^2+6a+18}$$

Приравниваем:

$$\sqrt{a^2+6a+18}= a\sqrt{2}$$

$$ a^2+6a+18=2a^2$$

$$a^2-6a-18=0$$

$$a=3+3\sqrt{3}$$

Определим площадь:

$$S=a^2=(3+3\sqrt{3})^2=9+18\sqrt{3}+27=36+18\sqrt{3}=18(2+\sqrt{3})$$

Ответ: $S=18(2+\sqrt{3})$

Задача 3.

Дан четырехугольник, в нем известны некоторые углы (см. рисунок). Надо определить угол между его диагоналями.

Рисунок к задаче 3

Решение. Сразу же, конечно, находим оставшиеся углы:

Можно определить углы

Но что же дальше? Придется призвать окружность на помощь (это и будет спасительным дополнительным построением). Описывать ее имеет смысл около треугольника, все углы которого известны:

Дополнительное построение: окружность

Угол $AFD=60^{\circ}$, как вписанный и опирающийся на ту же дугу, что и угол $ABD$. По той же причине равны и углы $AFB$ и $ADB$. В треугольнике $ABF$ угол $BAF$ равен тогда $20^{\circ}$. Но этот угол, в свою очередь, равен углу $BDF$, и, следовательно, угол $ADF=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ}$ - то есть треугольник $AFD$ - правильный. Треугольник $FCD$ оказывается равнобедренным, поскольку угол $FDC$ в нем равен $50^{\circ}$. Тогда $FD=FC$, но $FD=AF$, и, значит, $AF=FC$ - опа, треугольник $AFC$ - равнобедренный! Углы при основании у него следующие:

$$\angle AFB=40^{\circ}$$

$$\angle FAC=\angle FCA=\frac{40^{\circ}}{2}=20^{\circ}$$

В треугольнике $AOD$ угол $OAD=40^{\circ}$, угол при вершине $100^{\circ}$, а смежный с ним – искомый угол между диагоналями – равен $80^{\circ}$.

Ответ: $80^{\circ}$