Углы-углы-углы

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Треугольники $BGF$ и $BCF$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $AB=BC=BG=a$. Тогда, если $\angle BCF=\angle FBG=\alpha$, то $\angle ABG=90^{\circ}-2\alpha$, а углы равнобедренного треугольника $ABG$ при основании равны

$$\angle BAG=\angle BGA=\frac{180^{\circ}-(90^{\circ}-2\alpha)}{2}=\frac{90+2\alpha}{2}=45^{\circ}+\alpha$$

Угол $\angle BGA$ является внешним для треугольника $BGH$, поэтому равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

$$\angle BGA=\angle HBG +\angle BHG=\alpha+\angle BHG$$

Откуда

$$\angle BHG=45^{\circ}$$

Ответ: $45^{\circ}$.

Задача 2.

Задача 2

Решение. Треугольник $ABH$ - прямоугольный. В нам медиана $HK$ равна половине гипотенузы $AB$. Проведем ее.

Дополнительные построения

Поэтому угол $KHA$ - тоже $2\alpha$. Внешний угол треугольника $AKH$  - $HKB=4\alpha$. Если провести $KM$ - она окажется средней линией, а значит, пройдет параллельно $AC$, тогда угол $BKM=3\alpha$, как соответственный, а угол $KMH=\alpha$ как накрестлежащий. Также угол $MKH$ будет равен $\alpha$, так как

$$\angle MKH=\angle HKB- \angle MKH=4\alpha-3\alpha=\alpha$$

Следовательно, треугольник $KMH$ - равнобедренный, и, таким образом, доказано, что $AB=2HM$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Продлим $KM$ до пересечения с $AD$:

Дополнительные построения, решение

$DN=KC$, $KM=MN$, $AN=1,5x=AK=6$

$$x=4$$

Ответ: 4

Задача 4.

Рисунок к задаче 4

Догадались? Да, ничего не дано! А угол найти можно!!! $CT$ можно двигать, как угодно. Будут меняться длины $BT$ и $DT$, но угол $\Theta$ - нет! Потому что он – вписанный в окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R=CD$.

Ответ: $45^{\circ}$.